| 研究課題/領域番号 |
23K13353
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| 研究機関 | 鳴門教育大学 |
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研究代表者 |
美井野 優 鳴門教育大学, 大学院学校教育研究科, 講師 (70845049)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2027-03-31
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| キーワード | 二質量衝突振動系 / 非自律ハイブリッド系 / 局所分岐解析 / カオス / 最大 Lyapunov 指数 / 数値解析 / 安定性解析 / Python |
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| 研究実績の概要 |
2つの歯車の動的挙動を数理モデル化した二質量衝突振動系では，grazing 分岐や質点一体化といった，歯車の損傷に強く影響する非線形現象が観測されている．当該現象の解明を見据え，本年度は「数値最適化に基づく安定性解析および局所分岐現象の解析」に着手した．
対象の系は非自律な断続系であったが，そのままの形式では柔軟な安定性解析が困難であったため，時刻に相当する冗長な状態変数（τ とする）とその発展方程式（dτ/dt = 1）を新たに設け，断続自律系へと置換した．この置換は，数理的な観点から系の動的挙動に全く影響を与えないが，当該事実は数値シミュレーションの観点からも確認済みである．したがって，断続自律系の数値的解析により得られる知見は，無損失で元の断続非自律系に還元される．
置換後の自律系においては，τ 軸の法線方向にポアンカレ断面を配置し，断面内でポアンカレ写像を定義した．一般的な自律系のポアンカレ写像は，動的システムの解軌道をポアンカレ断面で離散化して構成するが，断続系では状態空間内にポアンカレ断面以外の断面も配置し，かつその断面を境界として系の方程式が切り替わるため，断面間の写像（局所写像と呼ぶ）の合成写像としてポアンカレ写像を表現する手法を採用した．局所写像の Jacobi 行列は汎用な形式で記述可能であるため，合成写像であるポアンカレ写像の Jacobi 行列も連鎖律にしたがって汎用に表現でき，結果として数値計算アルゴリズムが簡素に構築できた．
算出した Jacobi 行列から，系にみられる固定点や周期点の安定性を定量化した．算出した安定性指標から，系の固定点や周期点の周りで局所分岐現象の発生を観測した．さらに，非周期的な解に対しては最大 Lyapunov 指数を算出し，振る舞いがカオス的である事実を確認した．数値実験はすべて Python で行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
ポアンカレ写像及びその Jacobi 行列の構成にエフォートを要する計画であったが，断面を表現するための関数（およびその導関数）が比較的早い段階で導出でき，かつそれらの Jacobi 行列への寄与が想定の範囲内であったため，当初の計画以上に研究が進展した．
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| 今後の研究の推進方策 |
「grazing 分岐および質点一体化が生じるパラメタ空間の特定と原理解明」を見据え，まずはそれぞれの発生条件の定式化と数値計算アルゴリズムの構築を行う．Newton 法を始めとした既存の最適化手法が適用できる形での定式化を目指し，二質量衝突振動系への適用に留まらない，汎用なアルゴリズム構築を試みる．ポアンカレ写像によって構成される離散時間力学系において，grazing 分岐や質点一体化がどのような解釈の現象とみなせるか，数理的な導出と数値的な実験を通して考察する．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初予定よりも順調に計画が進行しており，想定されていた書籍や消耗品の購入が不要となったため，次年度使用額が生じた．
当該助成金は次年度における研究推進のための書籍および消耗品に充てる．
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| 備考 |
数値解析のために構築した Python パッケージの Git レポジトリ及びドキュメンテーション
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