| 研究課題/領域番号 |
20H01802
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
井関 裕靖 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (90244409)
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| 研究分担者 |
近藤 剛史 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60467446)
納谷 信 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (70222180)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | 離散群 / 剛性 / 調和写像 / ランダムウォーク / Poisson境界 |
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| 研究実績の概要 |
ランダム・ウォークが与えられた可算群Gが局所コンパクトまたは有限なtelescopic次元をもつ非正曲率距離空間Yに非自明な作用をするとき、可算群Gの(与えられたランダム・ウォークから定まる)Poisson境界からYの無限遠境界への境界写像が存在するか、そうでなければYの中に平坦部分空間が存在し、Gの作用がその平坦部分空間を不変にする、という研究代表者自身の予想を肯定的に解決することができた。さらに、この結果の帰結として、例えば、「 Kazhdanの性質(T)をもつ可算群が局所コンパクトまたは有限なtelescopic次元をもつ非正曲率距離空間Yに非自明な作用をするならば、必ずPoisson境界からYの無限遠境界への同変写像が存在する」ことがしたがう。Kazhdanの性質(T)をもつ群にはentropy gapと呼ばれる性質があることに注意すると、この事実はKazhdanの性質(T)をもつ群の非正曲率距離空間への作用が極めて限定的であることを示唆している。また、上述の定理をYが局所的に有限な幾何学的次元をもつ場合にも、GからYへのGの作用に関して同変な調和写像が存在する、という条件の下で拡張することができた。これらの定理は、一般の可算群の非正曲率距離空間への作用が、これまで思われてきた以上に強い制約を受けていることを示唆するものであり、「可算群の剛性」の一つの側面を捉えた意義深い成果であると考えている。
これらの成果をまとめた論文は極めて評価の高い学術誌 Geometric and Functional Analysis に掲載受理された。2023年度に当該論文が出版されたところ、関係する多くの数学者から高い評価と研究を進める上での有益な情報を得ることができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
「研究実績の概要」で述べたように、研究代表者自身の予想を解決することができ、その成果をまとめた論文は関係する多くの数学者から高い評価を得ている。研究成果に対する問い合わせや研究討論の機会での情報提供などもあり、研究を進める上での有益な情報を得ることができた。とくに、2024年3月にはジュネーブ大学(スイス)の Anders Karlsson 教授からの招きを得て渡欧し、上述の定理が開く幾何学的剛性理論のあらたな可能性について議論し、本研究計画の目的に沿った新たな展望が得られた。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度は、Anders Karlsson 教授との議論で得られた劣指数的な増大度をもつあるクラスの有限生成無限群のもつ固定点性質を、「研究実績の概要」で述べた定理から導くことを試みる。さらに、これまでの研究により存在が保証された境界写像の挙動を幾何学的な視点から詳細に解析することにも注力する。具体的には、この境界写像を用いて、Riemann対称空間やBruhat-Titsビルディングと呼ばれる対称性の高い非正曲率空間に、余コンパクトかつ固有不連続に作用する離散群(格子)の漸近的超剛性とも呼ぶべき主張を証明することを目指す。境界写像の挙動については研究代表者と研究分担者の納谷が、Tits 境界の幾何学的性質については研究代表者と研究分担者の近藤が主に取り組む予定である。
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