| 研究課題/領域番号 |
20H01805
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
泉 正己 京都大学, 理学研究科, 教授 (80232362)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | 作用素環 / 群作用 / フュージョン圏 / モジュラーテンソル圏 |
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| 研究実績の概要 |
作用素環Aと離散群Gに対して、AにおけるG核とはGからAの外部自己同型群Out(A)への群準同型を意味する。Aの中心が自明な場合、G核が捩じれ作用に持ち上がるための障害類として3次コホモロジーH^3(G,T)の元が定まる。概有限II_1型因子環の場合、すべての離散群に対して、このコホモロジー群のすべての元が実現され、さらにGが従順であれば障害類がG核の完全不変量であることが知られている。一方C*環の場合障害類とK理論の関係が予想されるが、最近まであまり組織的な研究がなされていなかった。Evington と Giron Pachecoは2023年の研究で、Jiang-Su 代数の任意のG核の障害類が自明になることを示し、UHF環の場合にも障害類にK理論的な著しい制約があることを示した。彼らの手法は本質的に代数的K理論を使ったものであり、トレースに付随する行列式の一般化を用いるものである。従ってトレースを持たない Kirchberg 環には適用できない。代数的K理論の替わりに位相的K理論を用いる新たな不変量の存在が期待された。本研究では、TのK_0(A)での拡大を係数とする新たな不変量を導入し、Cuntz 環などのKirchberg 環でも障害類のK理論的な制約があることを示した。また群が無限群である場合には、Kirchberg 環などの純無限C*環のG核が豊かな構造を持つことも示した。
モジュラーテンソル圏は、共形場理論、量子群の表現論、低次元トポロジーや、作用素環の理論に登場する近年注目を集めている代数系である。ニューサウスウェールズ大学の Pinhas Grossman 准教授との共同研究を継続し、新たたな2次圏の構成とそのモジュラーデータの計算を行った。現在数値計算の段階ではあるが、我々が以前の研究で予想したポテンシャルデータを実現できる可能性が高くなった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
G核の研究では、代表者が導入した不変量がかなり性質の良いものであることが分かってきた。一般にC*環への群作用の分類理論は同変KK理論を使ったかなり複雑なものになるが、強自己吸収的なC*環の場合に限れば問題が単純になる。更にその安定化まで考えれば Dadarlat-Pennig 理論により代数的位相的幾何学と強い関連があり、十分に豊な研究対象であることがこれまでの研究で分かっている。G核の場合も同様なことが期待でき、研究を強自己吸収的C*環の場合から始めることは自然である。本研究では、群が有限次元の分類空間を持つ従順群の場合に、強自己吸収的 Kirchberg 環のG核の空間の構造に関する予想を得ることができた。また最も基本的な例である有限階自由アーベル群の場合に予想が成り立つことを証明した。この予想は今後のC*環におけるG核の研究の指導原理となると思われる。
モジュラーテンソル圏の研究では、Grossman 准教授との共同研究で以前に導入した潜在的モジュラーデータの無限系列の1つを実現する2次圏の構成に取り組み一定の成果を得た。位数が４を法として３であるアーベル群に対して特定の2次圏を構成し、その tube 代数を計算することによりその Drindeld 中心を計算することが目標となる。前年度までの研究で、2次圏を Cuntz 環を用いて構成するための方程式は既に得ており、位数3の巡回群の場合に解が3つあることを示している。今年度はそれら3つの2次圏の tube 代数の構造をコンピュータを用いて数値的に決定することに成功した。更にこれを用いて目標とする潜在的モジュラーデータが Drinfeld 中心により実現されることを確かめた。
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| 今後の研究の推進方策 |
G核の研究では、強自己吸収的 Kirchberg 環の場合に代表者が提唱した予想を証明することと、強自己吸収的安定有限C*環の場合にG核の構造を決定することが今後の課題となる。前者に関しては、申請者が導入した不変量の位相幾何学的意味を明らかにすることが重要であると予想される。これに関して既に Cardiff 大学の Pennig 准教授と Leuven 大学の Giron Pacheco 研究員との共同研究で、cossed module の分類空間を用いた不変量の再構成に成功しており、今後この手法が予想の解決に応用できることが期待できる。後者の研究に関しては既に、千葉大学の松井宏樹教授との共同研究で予備的な計算を行っており、Kirchberg 環の場合とは全く異なる現象が起こることを確認している。この場合、G核以前に捩じれ作用の分類がまだ手つかずであり、そこから研究を始める必要がある。安定有限C*環への群作用を分類する場合、きれいな分類結果を得るには単なる外部性ではなく強外部性を仮定する必要があることが知られているが、我々の予備的計算は強外部性の仮定の下でも Kirchberg 環の場合とは本質的に異なる現象が起こることを示唆している。
モジュラーテンソル圏の研究では、Grossman 准教授との共同研究を継続し、数値計算で得られた結果を数式処理により厳密に証明することが課題となる。出発点となる群が位数３の巡回群の場合それを実行することに大した困難はないと予想している。しかし群が位数7の巡回群の場合は計算量を減らす工夫が必要である。既にこれまでの研究で、うまい変数変換を行うことにより方程式を解くときの係数体を小さくすることに成功している。このアイデアを tube 代数の計算に適用することにより、計算量の問題を解決できると期待される。
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