| 研究実績の概要 |
当該年度はメトリックグラフに各辺の太さに対応するパラメータを導入して, パルス運動に与える影響を調べることを中心課題とした．その結果, 太さのパラメータを含む形でパルス運動を記述する方程式の導出に成功し, その影響が具体的な形で明らかになってきた．例えば, これまでの第１種および第2種境界条件が太さのパラメータの特別な極限の場合として得られたが, これはキルヒホッフ境界条件が課されたノードが持つ性質を理解する上で極めて重要な知見を与えることとなった．そのアイデアは有限の長さの辺を持つメトリックグラフの問題に自然に拡張され, 太さのパラメータと各辺の長さが互いに絡み合う, 極めて複雑な運動方程式の導出へと発展したが, その結果は, 円周と辺が接合したメトリックグラフやツリー構造をしたメトリックグラフへの応用を考える上で重要な役割を担った．実際, それらの結果はアレン・カーン方程式のフロント解の挙動解析に応用され, これまでメトリックグラフ上の非一様安定定常解の非存在条件として知られていた幾つかの結果を, ダイナミクスの観点から解釈し直すことに成功した．具体的には, 既存の非存在条件は辺の太さのパラメータの条件として与えられているが, ダイナミクスの観点からは, 太さのパラメータがその条件を満たすとき, 複雑な運動方程式が大変単純な形に帰着され, 不安定化に関わるダイナミクスが明確になるなど, 不安定化のメカニズムを明らかにすることができた．さらに非存在条件が満たされないときの解の挙動や辺の長さも考慮に入れた挙動など, 新たな知見も得ることができた．これらの研究は実際の神経網に近いメトリックグラフ上の解析の際には必要不可欠な情報として適用されることになる．
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| 今後の研究の推進方策 |
Y 字型のメトリックグラフで得られた結果と方法を, 実際の神経網に近いメトリックグラフに応用することを目指す．具体的には, 実際の神経細胞における樹状突起などを想定して, より多くの分岐があるようなメトリックグラフ, さらに, 太さにかかわるパラメータが各辺毎に異なるといった領域で, かつ進行パルスの場合に拡張することを予定している．またメトリックグラフ以外に, 一般の領域における問題に対しても本格的に解析を進めていく．
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