| 研究課題/領域番号 |
24224004
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
柴田 良弘 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (50114088)
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| 研究分担者 |
田端 正久 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30093272)
吉村 浩明 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40247234)
舟木 直久 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (60112174)
小澤 徹 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70204196)
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| 研究期間 (年度) |
2012-05-31 – 2017-03-31
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| キーワード | R-有界性 / 安定性解析 / 確率解析 / 有限要素法 |
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| 研究実績の概要 |
(1)自由境界問題を統一的に扱う理論の構築と流の安定性の未解決問題の解決
2相問題についてのモデリングを行い、気体・気体、気体・液体、液体・液体の3通りの場合で界面において表面張力がついてない場合について、そのモデル問題に対しR 有界な解作用素の存在を示した。また半空間における非圧縮性粘性流体の自由境界問題を表面張力がついている場合に考え、その線形化問題の解の減衰評価とそれを応用してLp－Lq 最大正則性のクラスでの時間大域解の一意存在を示した。さらにネマチック液晶(nematic liquid crystal)に関する一般領域での時間局所解の一意存在、有界領域および全空間での時間大域解の一意存在を示した。一方数値解析においては、2相問題に対し高信頼・高精度な有限要素法の開発を行った。物質微分項の非線形性はラグランジェ・ガレルキン法で解消し、自由境界は海面追跡法で精度よく計算するスキームを構成した。
(2) メゾレベルからの粘性流体の運動方程式の導出
・表記課題の方法として次のプログラムを提案するにいたった。1) 確率的な摂動を形式的に与えた流速を考える。2) この上での運動エネルギーとポテンシャルエネルギー、および粘性外力(viscous force)を定義する。3) ラグランジェ・ダランベール(Lagrange-d’Alembert)原理による変分を行い、確率項を含む運動方程式を導出する。4) 確率項を数学的に厳密にとらえ、伊藤型の確率偏微分方程式を導出する。
・上記の導出法の具体例として確率項を含むレイリー・プリセット方程式を導出し解の一意存在を数学的に厳密に示し、さらに数値計算により気泡雲のリバウンド現象の実測値とよく合っていることを確認した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
自由境界問題を統一的に扱う理論の構築については、目標であった2相問題の時間局所解の一意存在と、時間大域解の一意存在と漸近挙動について、まず問題を定式化し、線形化方程式のモデル問題に対し、R 有界な解作用素とそれを応用してLp－Lq最大正則性原理を示す事が出来た。またこれまでは先行研究も含めて時間大域解の一意存在は有界領域か、ボトムがある場合の海面問題をL2 枠でしか扱っていなかったものに対し、Lp－Lq最大正則性枠で示すための切っ掛けを作り、特に半空間、全空間の非線形問題についてこの枠での時間大域解の一意存在と漸近挙動を示す事に成功したことは、研究当初には示したいとは思っていたものの、どのように行ってよいか全く想像もつかなかった成果であり、これからの流体数学研究に新しい一歩を開くことが出来た。さらに、対応する問題の数学的に高精度な高速の数値解析法を提案することが出来たことも当初の計画通りの達成度である。一方メゾレベル研究はトップダウン型の提案であるが、数学的に厳密な方法により確率項を含む流体運動の基礎方程式を導出する方法を確立することに成功した。メゾレベルでの流体運動を記述する方程式とは、この研究での結論は確率項を含むナヴィエ・ストークス型方程式を物理的に納得のいく形で導出することであるというのが結論である。この方法により、キャビテーション問題での気泡雲の運動を記述する方程式を導出し、その数値解析と実験値が良くあっていることを確認することが出来たことは、研究当初考えていたことをはるかに超える成功である。
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| 今後の研究の推進方策 |
(1)自由境界問題を統一的に扱う理論の構築と流の安定性の未解決問題の解決
この課題については、2相問題の研究はモデル問題が完全に解かれたのでこれを発展させ、非線形問題の時間局所解の一意存在と時間大域解の一意存在とその漸近挙動の研究を完成させる。解くに非有界領域での研究に2014年度非常に新しい知見を得たので、これを大いに発展させ、非有界領域での研究を大いに発展させる。
(2) メゾレベルからの粘性流体の運動方程式の導出
表記課題の方法として提案したプログラムをより一般の流体現象に適用するだけでなく、生物物理、物性物理などの新たなる対象にも適用し、これまで経験則で確率を導入することにより物理的知見の得られていた現象について、数学的に厳密な理論構築へと発展させる。早稲田大学はSGUに採択され数物系は柴田をリーダーとして拠点と一つとなった。ここではこれまでの流体数学に加え、量子力学、生物物理、物性物理を対象とする数学研究、モデリング、シミュレーションを大学院後期課程の教育・研究の柱としている。このプログラムを遂行するために、数学・物理・工学の研究チームを構築している。この中で2014年度に得た運動方程式の導出方法を用いてより数学的厳密な方程式の導出、数値解析、実験観測により新しいメゾレベル研究を進めていく。
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