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2012 年度 実績報告書

超平面配置に関わる数学の総括的研究

研究課題

研究課題/領域番号 24244001
研究種目

基盤研究(A)

研究機関北海道大学

研究代表者

寺尾 宏明  北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90119058)

研究分担者 吉永 正彦  北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (90467647)
研究期間 (年度) 2012-04-01 – 2017-03-31
キーワード代数的組合せ論 / 超平面配置
研究概要

24年度は主に鏡映群,特に,ルート系から決まるワイル群の鏡映面全体から成るワイル配置の研究に集中した.特に,ルート系の単純系(あるいは基底)を固定してルートの高さ(height)を定義するとき,高さによるワイル配置のフィルトレーションについて「高さ自由予想」と呼ぶ予想を立てて,様々なケースについて検証した.その間,松本耕二(名古屋大学・多元数理),津村博文(首都大学東京・理工学研究科),小森靖(立教大・理)との研究打合せ(平成24年9月11~13日,於北大),Gerhard Roehrle,Torsten Hoge(ともにBochum大,ドイツ),Michael Cuntz,Mohamed Barakat(ともにKaiserslautern大,ドイツ)との研究打合せ(平成25年2月19~24日,於Bochum大)は極めて高い効果があった.
おかげで,24年度末には「高さ自由予想」あるいは,はるかに一般の「イデアル自由予想」の解決の非常に近くに位置していると思われる.「高さ解決予想」は,いわゆる,Kostant-Macdonald等式(A. Shepiroにより発見され(未発表),R. Steinbergにより独立に再発見された.分類を用いない最初の証明は,B. Kostantによる.後に,I. G. Macdonaldが,生成関数を用いた別証明を与えた)を大きく拡張するものである.ちなみに,この「イデアル自由予想」は,Eric Sommers, Julianna Tymoczkoの2004年の論文の予想であって,提出から9年後に肯定的に解決されたことになる.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本研究では,研究目的として,以下の3つを掲げている.すなわち,(A) 結晶配置・鏡映配置の代数的・幾何的研究,(B) 複素数の重み付き多重超平面配置に付随する局所系コホモロジーの研究,そして,(C) 超平面配置の自由性についての研究,特にいわゆる「寺尾予想」にの続編に向けての研究である.この中で目標(A)については前述のとおり当初をはるかに上回る進展を示していて,最終目標まであと一歩のところまで来ている.その意味では,現在までの達成度は「(1)当初の計画以上に進展している」ということもできるが,目標(C)については進展が今ひとつであったので(2)とした.目標(B)については研究分担者の吉永正彦が2次元実超平面配置の局所系コホモロジーについて画期的な結果を出しつつある.

今後の研究の推進方策

ワイル配置に関する「高さ自由予想」は,分類を使わない形での証明が視野に入っているので,まずは,25年度早い時点で「高さ自由予想」を解決したい.その後は「高さ自由定理」を用いることによって,一般Shi配置・一般Catalan配置の微分加群の構造を深く,また,明示的に知ることを目指す.そのためには,この分野の専門家の多いBochum,Kaiserslauternなどに出張して情報交換,研究打合せを行う.

  • 研究成果

    (13件)

すべて 2013 2012 その他

すべて 雑誌論文 (4件) (うち査読あり 4件) 学会発表 (7件) (うち招待講演 7件) 図書 (1件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] The Shi arrangement of the type $D_\ell$2012

    • 著者名/発表者名
      Ruimei Gao, Donghe Pei, Hiroaki Terao
    • 雑誌名

      Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.

      巻: 88 ページ: 41-45

    • DOI

      doi:10.3792/pjaa.88.41

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Equivariant multiplicities of Coxeter arrangements and invariant bases2012

    • 著者名/発表者名
      Takuro Abe, Hiroaki Terao, Atsushi Wakamiko
    • 雑誌名

      Advances in Math.

      巻: 230 ページ: 2364-2377

    • DOI

      doi:10.1016/j.aim.2012.04.015

    • 査読あり
  • [雑誌論文] The Shi arrangements and the Bernoulli polynomials2012

    • 著者名/発表者名
      Daisuke Suyama, Hiroaki Terao
    • 雑誌名

      Bull. London Math. Soc.

      巻: 44 ページ: 563-570

    • DOI

      doi: 10.1112/blms/bdr118

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Arrangements stable under the Coxeter groups2012

    • 著者名/発表者名
      Hidehiko Kamiya, Akimichi Takemura, Hiroaki Terao
    • 雑誌名

      ``Configuration Spaces: Geometry, Topology and Combinatorics,'' Proceedings of a special period at the De Giorgi Center, Scuola Normale in Pisa, May - June, 2010, Edizioni Della Normale, Pisa

      巻: なし ページ: 327-354

    • 査読あり
  • [学会発表] Height basis of Weyl arrangements

    • 著者名/発表者名
      Hiroaki Terao
    • 学会等名
      "Arrangements in Pyrenees" School on hyperplane arrangements and related topics
    • 発表場所
      Universite de Pau(フランス)
    • 招待講演
  • [学会発表] Primitive derivations, Shi arrangements, Bernoulli polynomials and the height-free conjecture

    • 著者名/発表者名
      Hiroaki Terao
    • 学会等名
      FPSAC '12 (The 24th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics)
    • 発表場所
      名古屋大学(名古屋市)
    • 招待講演
  • [学会発表] Primitive derivations, Shi arrangements and Bernoulli polynomials

    • 著者名/発表者名
      Hiroaki Terao
    • 学会等名
      2012 Shanghai Conference on Algebraic Combinatorics
    • 発表場所
      Shanghai Jiao Tong University(中華人民共和国)
    • 招待講演
  • [学会発表] Primitive derivations, Shi arrangements and Bernoulli polynomials

    • 著者名/発表者名
      Hiroaki Terao
    • 学会等名
      colloquium
    • 発表場所
      Northeastern Normal University(中華人民共和国)
    • 招待講演
  • [学会発表] Logarithmic derivation modules of Shi arrangements associated with root systems

    • 著者名/発表者名
      Hiroaki Terao
    • 学会等名
      Combinatorial Representation Theory and Related Topics
    • 発表場所
      京都大学数理解析研究所(京都市)
    • 招待講演
  • [学会発表] Logarithmic derivation modules of Shi arrangements associated with root systems

    • 著者名/発表者名
      Hiroaki Terao
    • 学会等名
      Workshop on "Free Divisors and Differential Equations"
    • 発表場所
      東京農工大学(小金井市)
    • 招待講演
  • [学会発表] Logarithmic derivations modules of Shi arrangements associated with root systems

    • 著者名/発表者名
      Hiroaki Terao
    • 学会等名
      Conference on "Hyperplane Arrangements: Combinatorial and Geometric Aspects"
    • 発表場所
      Ruhr-Universitat Bochum(ドイツ)
    • 招待講演
  • [図書] 不変量と対称性: 現代数学のこころ2013

    • 著者名/発表者名
      今井 淳・寺尾宏明・中村博昭
    • 総ページ数
      292
    • 出版者
      筑摩書房
  • [備考] Hiroaki Terao's Page

    • URL

      http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~terao/

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公開日: 2014-07-24  

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