| 研究課題/領域番号 |
24244002
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
今野 一宏 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10186869)
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| 研究分担者 |
大渕 朗 徳島大学, その他の研究科, 教授 (10211111)
徳永 浩雄 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (30211395)
小木曽 啓示 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (40224133)
臼井 三平 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90117002)
足利 正 東北学院大学, 工学部, 教授 (90125203)
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| 研究期間 (年度) |
2012-05-31 – 2017-03-31
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| キーワード | 代数曲線束 / オービフォールド特性類 / 楕円曲面 / 自己同型群 / 対数的混合ホッジ構造 |
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| 研究概要 |
代数曲線束をもつ非特異射影代数曲面を主な研究対象として，その垂直方向・水平方向の曲線の研究を文字通りの縦糸・横糸として，射影代数曲面の幾何構造を多角的に研究した．研究代表者や分担者によって得られた研究成果は以下の通りである．
まず，垂直方向の曲線に関する成果を述べる．torigonal曲線束の特異ファイバーには自然に正規３重点の例外集合が現れる．これを考慮して巡回的な３重点の場合に特異点の不変量に対するスロープ不等式を確立した．退化代数曲線族の符号不足数を考察した際に用いた「Dedekind和の相互律」を一般の場合に拡張した成果の後継として, 巡回商特異点の Fujiki-Oka 解消に伴うHirzebruch-Jung 連分数の高次元版を研究した．また，Weierstrass点が数値的にr-hyperellipticである時，実際に曲線がr-hyperellipticになる条件について幾つかの計算を行い，特にTorresの仮定は少しだけ弱く出来る事を示した．
水平方向の曲線については次の通りである．有理楕円曲面の生成ファイバーを函数体上の楕円曲線とみなし，その群構造やAbel-Jacobi写像を用いて得られる有理点に対応する楕円曲面上の曲線の性質について考察した．さらにその結果を次数の低い曲線配置のトポロジー研究に応用した．
その他にも次のような研究を行った．Primitiveかつ正のentropyをもつ正則自己同型をもつ3次元有理多様体, カラビ・ヤウ多様体のはじめての例の構成に成功した(Truong氏との共同研究)．加藤・中山・臼井の混合ホッジ構造の退化についての共同研究シリーズの３として，与えられた型を持つ対数的混合ホッジ構造の良分類空間を構成したが，その応用の一つとして，与えられた許容正規関数 (admissible normal function) を拡張できるネロンモデルを構成した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
代数曲線束を持つ複素曲面上の垂直方向の曲線については，局所不変量を考察する際に重要な，特異点（とくに３重点）に対するスロープ不等式，局所符号不足数への応用を見込んだ巡回商特異点の研究，自己同型群の作用による商などに関して一定の成果を挙げた．とくに商とWeierstrass点との関係が判明しつつある．また，水平方向の曲線である楕円曲面の多重切断については，次数の低い曲線配置のトポロジー研究に応用するなど，著しい成果を挙げることができた．これらのことから，本研究課題は概ね順調に進展していると結論する．
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| 今後の研究の推進方策 |
研究組織は引き続き，研究代表者に研究分担者5名（足利，徳永，大渕，小木曽，臼井）と連携研究者4名(中山，奥間，都丸，遠藤)を加えた総勢10名による研究体制を基本とする．担当する課題や地理的条件に応じたゆるやかなグループ分けに従って研究を分担して進め，研究代表者がそれを統括する．
半安定還元で得られるファイバーが超楕円曲線の場合に，Eichlerの跡公式を用いて局所符号不足数を計算し，半安定還元を経由して得られる局所不変量と代数的な堀川指数との比較を行う．そして種数３の非超楕円曲線束に対して両者の一致を示すことを目標とする．
モーデル・ヴェイユ格子については，構造が良く知られている有理楕円曲面を出発点として，関数体上の曲線である生成幾何ファイバーの加法とファイバー曲面の切断の幾何学的関係の研究を，昨年度に引き続き今年度も推進する．
本研究の深化を図ることを目的として，研究初年度の平成２４年度から，首都大学東京の秋葉原サテライトキャンパスにおいて「代数曲面論ワークショップ」を企画・開始した．昨年度末までに合計６度の会合を開いている．今年度もこの集会の定期的な開催を継続する．また，関連する国内外の研究集会へ研究協力者を派遣して，積極的に情報収集を行う．
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