量子スピン系の離散幾何解析学

2016 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 24244004
• 研究機関: 東北大学
• 研究代表者: 小谷 元子 東北大学, 理学研究科, 教授 (50230024)
• 研究分担者: 熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (90234509) ; 塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
• 研究期間 (年度): 2012-04-01 – 2017-03-31
• キーワード: 幾何学 / 離散幾何学 / スペクトル解析 / スピン系

研究実績の概要

物性物理における基本的な問題は、様々な環境設定における電気伝導性であり、これは対応するハミルトニアンのスペクトル構造によって決定される。近年の中心的な課題である電素のスピン機動相互作用を取り入れたスピントロニクス(スピン＋エレクトロニクス)であり、特に、波動関数のなすバンド構造のトポロジカルな性質が、伝導性物質について、物質の幾何学的構造に力点をおいて研究することが、本研究の目的である。離散距離空間の幾何学、スペクトル幾何学、トポロジーの知識を適用することで、量子スピン系の離散幾何解析学を展開した。
研究は、研究代表者　小谷を中心に、分担者　熊谷隆、塩谷隆、連携研究者　尾畑伸明、楯辰哉、宮岡礼子と緊密に連絡をとりつつ推進した。すべての研究は小谷の指導のもとに遂行するが、分担者が責任テーマの取りまとめを行った。
本研究では、離散曲面上の離散シュレーディンガー作用素と、極限に現れる連続な曲面上のシュレーディンガー作用素の関係を調べることで、電子物性の解明することを中心的な課題と置いた。量子スピンの中心的課題であるトポロジカル絶縁体に関する数学的理解を進め、ランダムポテンシャルのある場合のバルク・エッジ対応を示した。カーボン材料の原子配置を表す数理モデルとして曲面の離散版となる離散曲面論を、３岐グラフを対象として構築した。更に、その背後に隠れた連続な曲面を捉えるために、与えられたグラフを細分することでできたグラフ列の収束を用いて、トポロジカル欠陥を検出し、局在化の可能性について数理モデルを提案した。得られた研究成果は国際ワークショップ等における講演、及び国際科学雑誌に出版した。
近年、量子スピンに関するトポロジカル材料に関して、非可換幾何学を用いて世界中で著しい進展があったため、それを調査し、最終年度は仙台において国際研究集会を開催した。

現在までの達成度 (段落)

28年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

28年度が最終年度であるため、記入しない。

備考

【論説・記事】・数学,化学と出会う(4) アモルファス材料のトポロジー解析,小谷元子,現代化学(541),2016
・大人のための最先端理科（第119回）数学 データを構造解明へつなげる 数学と材料開発の意外な相性,小谷元子,週刊ダイヤモンド,105(21),2017
・離散と連続をつなぐ幾何（特集 発展する微分幾何：その多様性、面白さ、そして美しさ）, 小谷元子,数理科学,55(6),2017

研究成果

• [国際共同研究] Fujian Normal University(China)
  • 国名: 中国
  • 外国機関名: Fujian Normal University
• [国際共同研究] Seoul National University(韓国)
  • 国名: 韓国
  • 外国機関名: Seoul National University
• [国際共同研究] University of Oxford/University of Warwick(United Kingdom)
  • 国名: 英国
  • 外国機関名: University of Oxford/University of Warwick
• [国際共同研究] Stanford University/University of Washington(米国)
  • 国名: 米国
  • 外国機関名: Stanford University/University of Washington
• [国際共同研究] Free University of Berlin(Germany)
  • 国名: ドイツ
  • 外国機関名: Free University of Berlin
• [国際共同研究]
  • 他の国数: 1
• [雑誌論文] Up and down Grover walks on simplicial complexes (2018)
  • 著者名/発表者名: Xin Luo and Tatsuya Tate
  • 雑誌名: Linear Algebra and its Applications 巻: 545 ページ: 174-206
  • DOI: https://doi.org/10.1016/j.laa.2018.01.036
  • 査読あり
• [雑誌論文] Lamplighter random walks on fractals (2018)
  • 著者名/発表者名: T. Kumagai and C. Nakamura
  • 雑誌名: J. Theoret. Probab 巻: 31, no. 1 ページ: 68-92
  • DOI: https://doi.org/10.1007/s10959-016-0718-0
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] High-dimensional metric-measure limit of Stiefel and flag manifolds (2018)
  • 著者名/発表者名: Shioya, Takashi and Takatsu Asuka
  • 雑誌名: Math. Z. 巻: - ページ: 1-35
  • DOI: https://doi.org/10.1007/s00209-018-2044-y
  • 査読あり
• [雑誌論文] Asymptotic expansion of the transition probability for non-symmetric random walks on crystal lattices（スペクトル・散乱理論とその周辺) (2017)
  • 著者名/発表者名: Ishiwata Satoshi, Kawabi Hiroshi, Kotani Motoko
  • 雑誌名: 数理解析研究所講究録 巻: 2023 ページ: 15-28
  • 査読あり
• [雑誌論文] Long time asymptotics of non-symmetric random walks on crystal lattices (2017)
  • 著者名/発表者名: Ishiwata Satoshi、Kawabi Hiroshi、Kotani Motoko
  • 雑誌名: Journal of Functional Analysis 巻: 272 ページ: 1553-1624
  • DOI: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2016.11.011
  • 査読あり
• [雑誌論文] Subsequential scaling limits of simple random walk on the two-dimensional uniform spanning tree (2017)
  • 著者名/発表者名: M.T. Barlow, D.A. Croydon and T. Kumagai
  • 雑誌名: Ann. Probab. 巻: 45, no. 1, ページ: 4-55
  • DOI: 10.1214/15-AOP1030
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] 整数論的手法による粒界原子構造予測 (2017)
  • 著者名/発表者名: 井上和俊、斎藤光浩、小谷元子、幾原雄一
  • 雑誌名: まてりあ 巻: 56(10) ページ: 589-596
  • DOI: https://doi.org/10.2320/materia.56.589
  • 査読あり
• [雑誌論文] Asymptotic behavior of a rotational population distribution in a molecular quantum-kicked rotorwith ideal quantum resonance (2017)
  • 著者名/発表者名: Leo Matsuoka, Etsuo Segawa, Kenta Yuki, Norio Konno, Nobuaki Obata
  • 雑誌名: Physics Lettters A381 巻: Issue 21 ページ: 1773-1779
  • 査読あり
• [雑誌論文] Laws of the iterated logarithm for symmetric jump processes (2017)
  • 著者名/発表者名: P. Kim, T. Kumagai and J. Wang
  • 雑誌名: Bernoulli 23 巻: no. 4A ページ: 2330-2379
  • DOI: 10.3150/16-BEJ812
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Time-changes of stochastic processes associated with resistance forms (2017)
  • 著者名/発表者名: D.A. Croydon, B.M. Hambly and T. Kumagai
  • 雑誌名: Electron. J. Probab. 22 巻: no. 82 ページ: 1-41
  • DOI: 10.1214/17-EJP99
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Structure of <110>-tilt boundaries in cubic zirconia (2017)
  • 著者名/発表者名: Kazutoshi Inoue, Bin Feng, Naoya Shibata, Motoko Kotani, Yuichi Ikuhara
  • 雑誌名: J.Mater.Sci. 巻: Vol 52, 8 ページ: 4278-4287
  • DOI: 10.1007/s10853-016-0682-1
  • 査読あり
• [雑誌論文] A discrete surface theory (2017)
  • 著者名/発表者名: Motoko Kotani, Hisashi Naito, Toshiaki Omori
  • 雑誌名: Computer Aided Geometric Design 巻: Vol.58 ページ: 24-54
  • DOI: https://doi.org/10.1016/j.cagd.2017.09.002
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Metric measure limits of spheres and complex projective spaces (2017)
  • 著者名/発表者名: Shioya Takashi
  • 雑誌名: Measure theory in non-smooth spaces, Partial Differ. Equ. Meas. Theory, De Gruyter, Warsaw 巻: -- ページ: 261-287
  • DOI: https://doi.org/10.1515/9783110550832-009
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Concentration, convergence, and dissipation of spaces (2016)
  • 著者名/発表者名: Shioya, Takashi
  • 雑誌名: Geometry and topology of manifolds, Springer Proc. Math. Stat. 巻: 154 ページ: 299-314
  • DOI: 10.1007/978-4-431-56021-0_16
  • 査読あり
• [雑誌論文] Quantum Walks in Low Dimension (2016)
  • 著者名/発表者名: Tate Tatsuya
  • 雑誌名: Geometric Methods in Physics, XXXIV Workshop, 2015 巻: -- ページ: 261-278
  • DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-31756-4_21
  • 査読あり
• [雑誌論文] Stereoisomerism, crystal structures, and dynamics of belt-shaped cyclonaphthylenes (2016)
  • 著者名/発表者名: Zhe Sun,Takuya Suenaga,Parantap Sarkar,Sota Sato,Motoko Kotani,Hiroyuki Isobe
  • 雑誌名: Proc Natl Acad Sci U S A 巻: 113(29) ページ: 8109-8114
  • DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.1606530113
  • 査読あり
• [雑誌論文] Materials inspired by mathematics (2016)
  • 著者名/発表者名: Motoko Kotani and Susumu Ikeda
  • 雑誌名: Science and Technology of Advanced Materials (STAM) 巻: 17(1) ページ: 253-259
  • DOI: 10.1080/14686996.2016.1180233
  • 査読あり
• [雑誌論文] Stereoisomerism in nanohoops with heterogeneous biaryl linkages of E/Z- and R/S-geometries (2016)
  • 著者名/発表者名: Sarkar, Parantap; Sun, Zhe; Tokuhira, Toshiki; Kotani, Motoko; Sato, Sota; Isobe, Hiroyuki
  • 雑誌名: ACS Cent. Sci 巻: 2 (10) ページ: 740-747
  • DOI: 10.1021/acscentsci.6b00240
  • 査読あり
• [雑誌論文] Quantum probability aspects to lexicographic and strong products of graphs (2016)
  • 著者名/発表者名: Nobuaki Obata
  • 雑誌名: Interdiscip. Inform.Sci. 巻: 22(1) ページ: 143-146
  • DOI: 10.4036/iis.2016.S.1
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] 数理的手法による電子顕微鏡像の解析と構造予測 (2016)
  • 著者名/発表者名: Kazutoshi Inoue, Chunlin Chen, Motoko Kotani, Yuichi Ikuhara
  • 雑誌名: まてりあ 巻: 55(12) ページ: 582-582
  • DOI: https://doi.org/10.2320/materia.55.582
  • 査読あり
• [雑誌論文] Laws of the iterated logarithm for random walks on Random Conductance Models (2016)
  • 著者名/発表者名: T. Kumagai and C. Nakamura
  • 雑誌名: RIMS Kokyuroku Bessatsu 巻: B59 ページ: 141-156.
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Phase behavior of a binary fluid mixture of quadrupolar molecules (2016)
  • 著者名/発表者名: Masatoshi Toda, Shinji Kajimoto,Shuichi Toyouchi,Toshihiro Kawakatsu, Yohji Akama, Motoko Kotani, and Hiroshi Fukumura
  • 雑誌名: PHYSICAL REVIEW 巻: E 94 ページ: 052601
  • DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.94.052601
  • 査読あり
• [雑誌論文] Stability and instability of Gaussian heat kernel estimates for random walks among time-dependent conductances (2016)
  • 著者名/発表者名: R. Huang and T. Kumagai
  • 雑誌名: Electron. Commun. Probab. 巻: Vol.21, no.5 ページ: 1-11
  • DOI: 10.1214/15-ECP4347
  • 査読あり / 国際共著
• [学会発表] Mathematical challenges for materials design (2018)
  • 著者名/発表者名: Motoko Kotani
  • 学会等名: Total Energy and Force Methods 2018 Workshop
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Isoperimetric rigidity and distributions of 1-Lipschitz functions (2018)
  • 著者名/発表者名: Takashi Shioya
  • 学会等名: Conference on "Metrics and Measures”
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Quenched invariance principle for random walks among random conductances with stable-like jumps (2018)
  • 著者名/発表者名: Takashi Kumagai
  • 学会等名: Oberwolfach Workshop, Interplay of Analysis and Probability in Applied Mathematics
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Isoperimetric rigidity and distributions of 1-Lipschitz functions (2018)
  • 著者名/発表者名: Takashi Shioya
  • 学会等名: Global Differential Geometry Workshop
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Quenched invariance principle for random walks among random conductances with stable-like jumps (2018)
  • 著者名/発表者名: Takashi Kumagai
  • 学会等名: Probability seminar at NYU-Shanghai
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Quenched invariance principle for random walks among random conductances with stable-like jumps (2018)
  • 著者名/発表者名: Takashi Kumagai
  • 学会等名: Sixth Bielefeld-SNU Joint Workshop in Mathematics
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Structure understanding of materials by discrete geometric analysis (2017)
  • 著者名/発表者名: Motoko Kotani
  • 学会等名: Stochastic Analysis and Large Scale Interacting Systems
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Structure understanding of materials by discrete geometric analysis (2017)
  • 著者名/発表者名: Motoko Kotani
  • 学会等名: Novel Optical Materials
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] 数学による構造・機能相関の解明 (2017)
  • 著者名/発表者名: 小谷 元子
  • 学会等名: 17-1ポリマーフロンティア21
  • 招待講演
• [学会発表] Structure understanding of materials by discrete geometric analysis (2017)
  • 著者名/発表者名: Kotani, Motoko
  • 学会等名: International Workshop on Industrial Mathematics
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Time changes of stochastic processes: Convergence and heat kernel estimates (2017)
  • 著者名/発表者名: Takashi Kumagai
  • 学会等名: Random walks with memory at CIRM
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] High-dimensional spaces in metric measure geometry (2017)
  • 著者名/発表者名: Takashi Shioya
  • 学会等名: Geometric Analysis on smooth and non-smooth spaces
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Convergence of random walks for trap models on disordered media (2017)
  • 著者名/発表者名: Takashi Kumagai
  • 学会等名: Dynamics, aging and universality in complex systems
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Potential theory for symmetric jump processes and applications (2017)
  • 著者名/発表者名: Takashi Kumagai
  • 学会等名: SPA 2017 in Moscow
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Quantum walks defined by periodic unitary transition operators (2017)
  • 著者名/発表者名: Tatsuya Tate
  • 学会等名: GEOQUANT 2017 Conference
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Mathematical Challenge to Understanding of Material (2017)
  • 著者名/発表者名: Motoko Kotani
  • 学会等名: International Conference on Research and Education in Mathematics 2017 (ICREM8)
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] 単体複体から派生するグローバーウォーク (2017)
  • 著者名/発表者名: 楯 辰哉
  • 学会等名: 第 5 回 Yokohama Workshop on Quantum Walks
  • 招待講演
• [学会発表] Convergence of random walks for trap models on disordered media (2017)
  • 著者名/発表者名: Takashi Kumagai
  • 学会等名: German-Japanese Open Conference on Stochastic Analysis 2017
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Soft isoperimetric rigidity (2017)
  • 著者名/発表者名: Takashi Shioya
  • 学会等名: Metric Measure Spaces and Ricci Curvature
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Discrete surface theory for trivalent graphs and its application to materials science (2017)
  • 著者名/発表者名: Motoko Kotani
  • 学会等名: Geometry Workshop in Obergurgl 2017
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Potential theory for symmetric jump processes and applications (2017)
  • 著者名/発表者名: Takashi Kumagai
  • 学会等名: Colloquium at Shanghai Jiao Tong University
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Convergence of random walks for trap models on disordered media (2017)
  • 著者名/発表者名: Takashi Kumagai
  • 学会等名: International Conference on Spatial Probability and Statistical Physics
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] 複雑な空間の上の熱の伝わり方を探る (2017)
  • 著者名/発表者名: 熊谷 隆
  • 学会等名: 第35回（平成29年度）大阪科学賞記念講演
  • 招待講演
• [学会発表] 次世代物質探索のための離散幾何学 領域紹介 (2017)
  • 著者名/発表者名: 小谷 元子
  • 学会等名: 第11回 物性科学領域横断研究会（領域合同研究会）
  • 招待講演
• [学会発表] 数学から材料科学へのアプローチ (2017)
  • 著者名/発表者名: 小谷 元子
  • 学会等名: シンポジウム「高分子未来サミット」
  • 招待講演
• [学会発表] Mathematical challenge for materials science (2017)
  • 著者名/発表者名: Motoko Kotani
  • 学会等名: 2017 Dasan Conference Mathematical Challenges and Industrial Problem Solving
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Mathematical Challenge to a New Phase of Materials Science (2016)
  • 著者名/発表者名: 小谷 元子
  • 学会等名: Workshop on nonlinear partial differential equations and related topics
  • 招待講演
• [学会発表] Time changes of stochastic processes on fractals (2016)
  • 著者名/発表者名: Takashi Kumagai
  • 学会等名: Fractality and Fractionality
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Time changes of stochastic processes associated with resistance forms (2016)
  • 著者名/発表者名: Kumagai Takashi
  • 学会等名: Random Structures in High Dimensions: CMO-BIRS workshop at Oaxaca
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] High-dimensional spaces in metric measure geometry (2016)
  • 著者名/発表者名: Takashi Shioya
  • 学会等名: Workshop on Perspectives in Geometric Analysis (Part A)
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Mathematical challenge for materials research at AIMR (2016)
  • 著者名/発表者名: Motoko Kotani
  • 学会等名: International Conference on Mathematics and Mathematics Education (ICMME) 2016
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Structure understanding of materials by discrete geometric analysis (2016)
  • 著者名/発表者名: 小谷 元子
  • 学会等名: 2016居禮夫人高中化學營
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] 数学と材料科学の連携のもたらす未来―東北大学原子分子材料科学高等研究機構（AIMR）における実験― (2016)
  • 著者名/発表者名: 小谷 元子
  • 学会等名: 俯瞰ワークショップ ナノテクノロジー・材料分野領域別分科会 全体会議「研究開発力強化に向けた施策間連携」
  • 招待講演
• [学会発表] 複雑な系の上の異常拡散現象の解析 (2016)
  • 著者名/発表者名: 熊谷 隆
  • 学会等名: 日本数学会秋季総合分科会
  • 招待講演
• [学会発表] Topology in Materials (2016)
  • 著者名/発表者名: Motoko Kotani
  • 学会等名: IGA/AMSI Workshop Topological Matter, Strings, K-theory and related areas
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Metric measure geometry and concentration of measure (2016)
  • 著者名/発表者名: Takashi Shioya
  • 学会等名: 5th Japanese-German University Presidents' Conference (HeKKSaGOn)
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] High-dimensional spaces in metric measure geometry (2016)
  • 著者名/発表者名: Takashi Shioya
  • 学会等名: HeKKSaGOn Mini-Workshop 2016
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Stability of heat kernel estimates and parabolic Harnack inequalities for jump processes on metric measure spaces (2016)
  • 著者名/発表者名: Kumagai Takashi
  • 学会等名: Stochastic Partial Differential Equations and Related Fields
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] A mathematical challenge to material (2016)
  • 著者名/発表者名: Motoko Kotani
  • 学会等名: GEMS 2016：Geometry and Materials Science
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] 異分野融合への挑戦 (2016)
  • 著者名/発表者名: 小谷 元子
  • 学会等名: 第８回九州・沖縄アイランド女性研究者支援シンポジウムin沖縄
  • 招待講演
• [学会発表] A challenge to a new paradigm by math-mate collaboration at AIMR (2016)
  • 著者名/発表者名: 小谷 元子
  • 学会等名: 第14回I2CNERセミナー・シリーズ
  • 招待講演
• [学会発表] Lamplighter random walks on fractals (2016)
  • 著者名/発表者名: Takashi Kumagai
  • 学会等名: 3rd Workshop on Probability Theory and its Applications
  • 国際学会 / 招待講演
• [図書] Spectral Analysis of Growing Graphs---A Quantum Probability Point of View (2017)
  • 著者名/発表者名: Nobuaki Obata
  • 総ページ数: viii+138pp
  • 出版者: Springer, Tokyo
  • ISBN: 978-981-10-3505-0
• [備考] Takashi Kumagai's Homepage
  • URL: http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kumagai/kumpre.html