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2013 年度 実績報告書

偏微分方程式の解の形状と挙動に関する系統的研究

研究課題

研究課題/領域番号 24244012
研究機関東京工業大学

研究代表者

柳田 英二  東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (80174548)

研究分担者 仙葉 隆  九州工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (30196985)
内藤 雄基  愛媛大学, 理工学研究科, 教授 (10231458)
壁谷 喜継  大阪府立大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (70252757)
石渡 通徳  福島大学, 共生システム理工学類, 准教授 (30350458)
高坂 良史  室蘭工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (00360967)
研究期間 (年度) 2012-05-31 – 2017-03-31
キーワード関数方程式の大域理論 / 安定性 / 漸近挙動 / 分岐構造 / 特異性
研究概要

放物型および楕円型偏微分方程式の解の構造についての研究を進め,以下のような成果をあげた.
・藤田型方程式に対し,ホモクリニック解の到達可能性という概念を定義し,到達可能であるための必要条件について調べ,指数がソボレフ臨界指数を超えたところに,到達不可能なホモクリニック解が存在することを証明した.
・双曲空間および球面上の領域での解の分岐を解明するため,その基礎となる結果を示し,また,球面上の領域でのスカラー場方程式の解の分岐現象の解明のの基礎となる線形化問題の固有値の分布を解明した.
・ある種の生命現象を表す反応拡散系の特異極限を考えることで,場の方程式と場の境界値に依存した自由境界問題の結合系を導出し,この結合系に対して凸および非凸の進行スポット解の存在を明らかにした.また,この結合系の解の存在定理を証明するための手順を定式化した.
・新たな臨界log-Hardy型不等式と平均振動型不等式を導入し,対応する最良定数が達成されないことを示た.また,非等方的 infinity-Laplacian に対して,漸近的平均値の定理が成り立つかどうかを考察し,肯定的結果を得た.
・空間次元が11以上の場合について,走化性方程式の球対称な定常解が球対称な摂動に対して安定である事を示し,さらにこの事実の応用として走化性方程式の球対称な振動解を構成した.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

放物型偏微分方程式については,藤田型方程式の安定な特異定常解への収束レート,ホモクリニック解の大域的性質,反応拡散方程式の特異極限の解の構造について新たな進展があった.楕円型方程式については,双曲空間および球面上の領域での解の分岐構造の解明と,臨界log-Hardy型不等式と平均振動型不等式の最良定数について,いくつかの興味深い結果を得た.

今後の研究の推進方策

放物型偏微分方程式については,藤田型方程式のホモクリニック解近傍にある解の性質を明らかにすることにより,その近傍にある多重ホモクリニック解や非収束解の存在を示すことを目標にする.楕円型方程式については,より一般的な領域における分岐構造の解明を目指す.
この目的のために,7月にスペインで行われる研究集会に参加し,情報の収集を諮るとともに,関係のある研究者と討論を行う.また,9月には,国際研究集会 Euro-Japanese Workshop on Blow-up を東工大で開催し,ヨーロッパから10名ほどの研究者を招へいして講演を依頼する.

  • 研究成果

    (37件)

すべて 2014 2013 その他

すべて 雑誌論文 (13件) (うち査読あり 12件) 学会発表 (24件) (うち招待講演 19件)

  • [雑誌論文] Existence and uniqueness of singular solutions for elliptic equation on the hyperbolic space2014

    • 著者名/発表者名
      Yen-Lin Wu, Chi-You Chen, Jann-Long Chern, Yoshitsugu Kabeya
    • 雑誌名

      Communications on Pure and Applied Analysis

      巻: 13 ページ: 949-960

    • DOI

      10.3934/cpaa.2014.13.949

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Mean curvature flow with triple junctions in higher space dimensions2014

    • 著者名/発表者名
      Daniel Depner, Harald Garcke, Yoshihito Kohsaka
    • 雑誌名

      Archive for Rational Mechanics and Analysis

      巻: 211 ページ: 301-334

    • DOI

      10.1007/s00205-013-0668-y

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Convergence and blow-up of solutions for a complex-valued heat equation with a quadratic nonlinearity2013

    • 著者名/発表者名
      J.-S. Guo, H. Ninomiya, M. Shimojo and E. Yanagida
    • 雑誌名

      Trans. Amer. Math. Soc.

      巻: 365 ページ: 2447-2467

    • DOI

      10.1090/S0002-9947-2012-05797-7

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Behavior of global solutions of the Fujita equation2013

    • 著者名/発表者名
      E. Yanagida
    • 雑誌名

      Sugaku Expositions

      巻: 26 ページ: 129-147

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Sharp decay estimates of $L^q$-norms for nonnegative Schrodinger heat semigroups2013

    • 著者名/発表者名
      N. Ioku, K. Ishige and E. Yanagida
    • 雑誌名

      Journal of Functional Analysis

      巻: 264 ページ: 2764-2783

    • DOI

      10.1016/j.jfa.2013.03.009

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Stability of stationary solutions and existence of oscillationg solutions to a chemotaxis system in high dimensional spaces2013

    • 著者名/発表者名
      Takasi Senba
    • 雑誌名

      Funkcialaj Ekvacioj

      巻: 56 ページ: 339-378

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the behavior of radial solutions to a parabolic-elliptic system related to biology2013

    • 著者名/発表者名
      仙葉隆(Takasi Senba)
    • 雑誌名

      京都大学数理解析研究所講究録

      巻: 1856 ページ: 143-151

  • [雑誌論文] Characterization for rectifiable and nonrectifiable attractivity of nonautonomous systems of linear differential equations2013

    • 著者名/発表者名
      Yuki Naito and Mervan Pasic
    • 雑誌名

      Int. J. Differential Equ.

      巻: 2013 (Article ID: 740980) ページ: 1-11

    • DOI

      dx.doi.org/10.1155/2013/740980

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Fractal oscillations near the domain boundary of radially symmetric solutions of p-Laplace equations2013

    • 著者名/発表者名
      Yuki Naito, Mervan Pasic, Satoshi Tanaka and Darko Zubrinic
    • 雑誌名

      Contempt Math.

      巻: 601 ページ: 325-343

    • DOI

      dx.doi.org/10.1090/conm/601/11912

    • 査読あり
  • [雑誌論文] A unified approach to Matukuma type equations on the hyperbolic space or on a sphere2013

    • 著者名/発表者名
      Yoshitsugu Kabeya
    • 雑誌名

      Discrete and Continuous Dynamical Systems, Supplement

      巻: 1 ページ: 385-391

    • DOI

      10.3934/proc.2013.2013.385

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the existence and nonexistence of maximizers associated with Trudinger-Moser type inequalities in unbounded domains2013

    • 著者名/発表者名
      Michinori Ishiwata
    • 雑誌名

      Emerging topics on differential equations and their applications, Nankai series in pure, applied mathematics and theoretical physics

      巻: 10 ページ: 41-53

    • DOI

      10.1142/9789814449755_0004

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Positive solutions to a semilinear parabolic equation associated with the critical Sobolev exponent2013

    • 著者名/発表者名
      Michinori Ishiwata, Takashi Suzuki
    • 雑誌名

      Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA

      巻: 20 ページ: 1553-1576

    • DOI

      10.1007/s00030-013-0221-6

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Multiple positive solutions of semilinear elliptic equations with weight function in exterior domains2013

    • 著者名/発表者名
      Michinori Ishiwata
    • 雑誌名

      Differential and Integral Equations

      巻: 26 ページ: 183-200

    • 査読あり
  • [学会発表] 単独反応拡散方程式に見られる複雑な解の挙動

    • 著者名/発表者名
      柳田英二
    • 学会等名
      東北大学数学専攻談話会
    • 発表場所
      東北大学川井ホール(宮城県)
    • 招待講演
  • [学会発表] 単独反応拡散方程式における局在解の収束性

    • 著者名/発表者名
      柳田英二
    • 学会等名
      研究集会「反応拡散系のパターンダイナミクス」
    • 発表場所
      富山大学理学部多目的ホール(富山県)
    • 招待講演
  • [学会発表] On the behavior of solutions to a system of partial differential equations related to biology

    • 著者名/発表者名
      Takasi Senba
    • 学会等名
      The 22nd International Conference of FIM on Interdisciplinary Mathematics, Statistics and Computational Techniques
    • 発表場所
      北九州国際会議場(福岡県北九州市)
    • 招待講演
  • [学会発表] On the behavior of radial solutions to a parabolic-elliptic system

    • 著者名/発表者名
      Takasi Senba
    • 学会等名
      2nd Kyushu-Euskadi Workshop on Applied Mathematics
    • 発表場所
      福岡大学セミナーハウス(福岡県福岡市)
    • 招待講演
  • [学会発表] Some properties of radial stationary solutions to a parabolic-elliptic system and its application

    • 著者名/発表者名
      Takasi Senba
    • 学会等名
      Conference on Nonlinear Phenomena in Biology, Physics and Mechanics
    • 発表場所
      Helmholtz Zentrum Munchen, Deutschland
    • 招待講演
  • [学会発表] Separation structure of positive radaial solutions for semilinear elliptic equations

    • 著者名/発表者名
      Yuki Naito
    • 学会等名
      The 2nd Hanbat PDE Conference
    • 発表場所
      Hanbat National University, Daejeon, Korea
    • 招待講演
  • [学会発表] Separation structure of positive radial solutions for semilinear elliptic equations

    • 著者名/発表者名
      内藤雄基
    • 学会等名
      振動理論ワークショップ - 金沢 2014
    • 発表場所
      金沢大学サテライト・プラザ(石川県)
  • [学会発表] Global attractivity in the weighted norm fora supercritical semilinear heat equation

    • 著者名/発表者名
      Yuki Naito
    • 学会等名
      2014 International Workshop on Nonlinear PDE and Applications
    • 発表場所
      Pusan National University, Busan, Korea
    • 招待講演
  • [学会発表] Non-azimuthal solutions to a nonlinear elliptic equation on a spherical cap

    • 著者名/発表者名
      Yoshitsugu Kabeya
    • 学会等名
      2013 Workshop in Nonlinear Equations in Population Biology
    • 発表場所
      華東師範大学 (中国)
    • 招待講演
  • [学会発表] A unified approach to nonlinear elliptic problems on the hyperbolic space or on the sphere

    • 著者名/発表者名
      Yoshitsugu Kabeya
    • 学会等名
      Applied Mathematics Seminar
    • 発表場所
      University of Zurich, Switzerland
    • 招待講演
  • [学会発表] Bifurcation diagrams of the nonlinear elliptic equation of the scalar-filed type on a spherical cap

    • 著者名/発表者名
      Yoshitsugu Kabeya
    • 学会等名
      20th Microlocal Analysis and Classical Analysis
    • 発表場所
      京都大学理学研究科セミナーハウス(京都府)
  • [学会発表] Bifurcation diagrams of a nonlinear elliptic equation on a spherical cap

    • 著者名/発表者名
      Yoshitsugu Kabeya
    • 学会等名
      NTU and NCTS/TPE seminar on PDE
    • 発表場所
      国立台湾大学 (台北・台湾)
    • 招待講演
  • [学会発表] Bifurcation diagrams of a nonlinear elliptic equation on a spherical cap

    • 著者名/発表者名
      Yoshitsugu Kabeya
    • 学会等名
      PDE Seminar
    • 発表場所
      National Central University, Jhongli City, Taiwan
    • 招待講演
  • [学会発表] On the global compactness type result for weighted energy functional involving Sobolev critical exponent and its applications

    • 著者名/発表者名
      Michinori Ishiwata
    • 学会等名
      南大阪応用数学セミナー
    • 発表場所
      大阪市立大学理学研究科数学講究室(大阪府)
  • [学会発表] Scale invariant version of the critical Hardy inequality and the associated variational problems

    • 著者名/発表者名
      Michinori Ishiwata
    • 学会等名
      金沢解析セミナー
    • 発表場所
      金沢大学(石川県)
  • [学会発表] On the scale-invariant critical Hardy's inequality and related variational problems

    • 著者名/発表者名
      Michinori Ishiwata
    • 学会等名
      EQUADIFF 13
    • 発表場所
      Charles University, Prague, Czech Republic
    • 招待講演
  • [学会発表] The scale-invariant log-Hardy inequalities and related variational problems

    • 著者名/発表者名
      Michinori Ishiwata
    • 学会等名
      3rd Italian-Japanese workshop on geometric properties for parabolic and elliptic PDE's
    • 発表場所
      Tokyo Institute of Technology(東京都)
    • 招待講演
  • [学会発表] On an interfacial motion by surface diffusion

    • 著者名/発表者名
      高坂良史
    • 学会等名
      SIAM Conference on Mathematical Aspects of Materials Science
    • 発表場所
      DoubleTree by Hilton Hotel, Philadelphia, USA
  • [学会発表] Mean curvature flow with a triple junction in multi-dimensional case

    • 著者名/発表者名
      高坂良史
    • 学会等名
      Workshop on nonlinear PDEs-PDE approach to network and related topics-
    • 発表場所
      東北大学川井ホール(宮城県)
    • 招待講演
  • [学会発表] Stability analysis of interfaces controlled by surface diffusion

    • 著者名/発表者名
      高坂良史
    • 学会等名
      Mathematical Aspects of Surface and Interface Dynamics VI
    • 発表場所
      東京大学駒場キャンパス(東京都)
    • 招待講演
  • [学会発表] 表面拡散方程式に対する定常曲線・曲面の安定性解析について

    • 著者名/発表者名
      高坂良史
    • 学会等名
      九大幾何セミナー
    • 発表場所
      九州大学伊都キャンパス(福岡県)
    • 招待講演
  • [学会発表] On the local existence for mean curvature flow with a triple junction in multi-dimensional case

    • 著者名/発表者名
      高坂良史
    • 学会等名
      One-day workshop on geometric variational problems
    • 発表場所
      北海道大学理学部(北海道)
    • 招待講演
  • [学会発表] 表面拡散方程式による平均曲率一定曲面の安定性解析

    • 著者名/発表者名
      高坂良史
    • 学会等名
      微分方程式の総合的研究
    • 発表場所
      東京大学駒場キャンパス(東京都)
    • 招待講演
  • [学会発表] トリプル・ジャンクションをもつ相境界の安定性について

    • 著者名/発表者名
      高坂良史
    • 学会等名
      数学協働プログラム ワークショップ表面微細構造の学理の探求:低環境負荷材料の創造に向けて
    • 発表場所
      北海道大学理学部(北海道)
    • 招待講演

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公開日: 2015-05-28  

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