| 研究課題/領域番号 |
24244012
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
柳田 英二 東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (80174548)
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| 研究分担者 |
高坂 良史 神戸大学, 海事科学研究科(研究院), 准教授 (00360967)
内藤 雄基 愛媛大学, 理工学研究科, 教授 (10231458)
仙葉 隆 九州工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (30196985)
石渡 通徳 大阪大学, 基礎工学研究科, 准教授 (30350458)
壁谷 喜継 大阪府立大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (70252757)
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| 研究期間 (年度) |
2012-05-31 – 2017-03-31
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| キーワード | 関数方程式 / 解析学 / 楕円型方程式 / 熱方程式 / 走化性方程式 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は，藤田型方程式，非線形楕円型方程式，走化性方程式，表面拡散方程式について成果を得た．
藤田型方程式については，安定な特異定常解についての研究を行い，特異解の形状によって収束レートが異なることを明らかにした．また，極限集合が定常解以外の解を含む場合があることを，このような解を構成することによって示した．このほか，空間10次元以上で現れるJoseph-Lundgren臨界指数と解の漸近挙動および解の分離構造との関連性について考察を行った。
非線形楕円型方程式については，球面上の領域での様々な境界条件下でのスカラーフィールド型方程式の分岐解の構造決定のため，固有値の詳細な検討を行った．また，これに関連して，臨界 Hardy 型や Sobolev 型の実解析的不等式に付随する変分問題の解析, 及び退化楕円型作用素に対する一般化平均値の導入とそれに対する漸近的平均値の定理に関する研究を行った.
走化性方程式については，増殖・死滅を考慮に入れた一般化された走化性方程式の解の有界性の精密な評価からアトラクターの存在を示した．た、2次元の有界領域における放物・楕円型 Keller-Segel 系の解が時間帯域的に存在するようなその感応性関数のクラスを求めた。そのクラスは対数関数を含み、既に証明されていた球対称な場合の結果を含むものである。
表面拡散方程式は曲面によって囲まれた体積が保存されるという制限のもとで表面積汎関数の勾配流として得られるが、軸対称という条件のもとで定常曲面の1つとなるアンデュロイドの安定性の解析を行い、安定性の判定条件を導出した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
放物型偏微分方程式については，藤田型方程式の安定な特異定常解への収束レートについての研究を完成した．
楕円型方程式については，球面上の領域におけるスカラーフィールド型方程式の分岐解の構造の解明と，臨界log-Hardy型不等式と平均振動型不等式の最良定数について進展があった．表面積汎関数の勾配流として得られる表面拡散方程式に関して、安定性の判定条件を導出した。
移流拡散方程式については，増殖・死滅を考慮に入れた一般化された走化性方程式の解の有界性の評価からアトラクターの存在を示した．また，2次元の有界領域における放物・楕円型 Keller-Segel 系の解の時間大域解の存在について進展があった．
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| 今後の研究の推進方策 |
放物型偏微分方程式については，有界領域における移動特異点の解析を中心に研究を進める．また，爆発解の挙動についてより詳細な性質の解明を進める．
楕円型方程式については，双曲空間などの多様体上で定義された場合について，ユークリッド空間の場合と比較しながら解の構造の解明をすすめる．
表面拡散方程式については，極小曲面への応用を試みる．
移流拡散方程式については，放物ー放物型の場合の大域解の存在とその性質の解明を目指す．
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