研究課題
今年度は、①確率微分方程式モデルの推定法の開発、②レヴィ過程で駆動される確率微分方程式モデルにおける高頻度データ解析の基礎理論の構築、③確率微分方程式モデルにおける二次変動推定量の構成についての研究を行った。①に関しては、これまで、エルゴード的または非エルゴード的確率微分方程式モデルの統計的推定問題や統計的仮説検定問題、統計的モデル選択問題について研究してきた。今年度は、推定量や検定統計量、情報量規準などの統計量を導出する際に、効率よく計算する手法として、ニュートン・ラフソン法を応用したハイブリッド・マルチ・ステップ(Hybrid Multi-Step、HMS)推測法を開発した。HMS法とは、ベイズ型推定量を初期推定量として採用し、擬似尤度関数によるスコア法を初期推定量の漸近的性質に応じて複数回適用した統計的手法のことである。規格化した擬似尤度関数に基づく``温めたベイズ推定量”を初期推定量として採用することによって、最尤型推定量を計算する際に直面する最適化のための初期値の選定問題から解放される。また、HMS推測法は統計モデルの構造（独立同一分布モデル、時系列モデル、確率過程モデル等）に依存しない汎用的な推測法である。②に関しては、特に正規型および非正規安定型の擬似尤度推定方式を軸とし、擬似最尤推定量の漸近分布の導出に関連する統計的確率場の極限定理や分布論を、事例研究と併せて研究した。また、レヴィ過程モデルからの大規模高頻度データに基づいた統計推測理論に関する総合報告をまとめた。③に関しては、最も標準的な実現ボラティリティが許容的ではないことを示し、推定の平均二乗誤差を改善する縮小推定量を構成した。この推定量はボラティリティが定数の場合には許容的であるという意味で、最低限の最適性を持っている。平均二乗誤差の改善は二次のオーダーであり、ボラティリティ自身の変動が大きいほど改善幅も大きい。
2: おおむね順調に進展している
当初の計画通り、確率微分方程式モデルにおけるパラメトリック推測のための統計量の有効な計算法として、ハイブリッド・マルチ・ステップ推定量の構成やその漸近的性質を示すことができた。具体的には、前年度までに導出した適応的最尤型推定法と適応的ベイズ型推定法を擬似尤度関数に基づくスコア法に応用して、温めたベイズ型推定量を初期推定量とした一般のマルチステップ推定量を構成した。また、数値シミュレーションにより、温めたベイズ推定量によるハイブリッド・マルチ・ステップ推定量が他の推定量より安定していることを検証できた。このアイディアはモデルの構造に依存しないので、エルゴード的確率微分方程式だけでなく、非エルゴード的確率微分方程式モデルに適用することができ、さらに、ジャンプ付き拡散過程やレヴィ駆動型確率微分方程式に対しても、ハイブリッド・マルチ・ステップ推定法の開発が可能であると考えている。
独立同一分布モデルや時系列モデル、確率過程モデルなどの構造を仮定しない、一般の統計モデルに対して、最適でない収束率の初期推定量であっても、スコア法を必要回数実行すれば、正則条件の下で漸近有効推定量を導出可能であることがわかった。特に、規格化された擬似尤度関数に基づく統計的確率場を用いた``温めたベイズ推定量”は最適収束率を有しないが推定値は比較的安定していて、温めたベイズ推定量を初期推定量として用いたハイブリッド・マルチ・ステップ推定量は、他の推定量よりもよいパフォーマンスをすることが数値シミュレーションにより検証できた。同様にして、ハイブリッド・マルチ・ステップ法は推定問題だけでなく、検定問題やモデル選択問題にも応用できるはずである。こうして得られた統計的手法はエルゴード的確率微分方程式モデルだけでなく、非エルゴード的確率微分方程式モデルにも適用可能であり、ジャンプ付き拡散過程やレヴィ駆動型確率微分方程式についても応用できると予想している。また、温めたベイズ推定量を初期推定量としたハイブリッド・マルチ・ステップ推定法に費やされる計算時間は、そのほとんどが温めたベイズ推定量の計算に使われるので、温めたベイズ推定量の高速計算法の開発も重要課題である。さらに、温めたベイズ推定量以外の初期推定量の構成についての研究を行う予定である。
ハイブリッド・マルチ・ステップ推定量の研究をしていたところ、複数の最適なハイブリッド・マルチ・ステップ推定量が存在するという新たな知見が見つかり、それらの推定量の正当化に時間を費やしたことにより、研究計画の遅延を余儀なくされた。また、新たな知見について専門家との研究打合せを希望したが、先方が次年度でないと都合がつかないため、来年度に研究打合せを行うための旅費が必要である。また、来年度に開催される学会での講演のための旅費も必要である。
次年度に、ハイブリッド・マルチ・ステップ推測法およびその応用に関する研究打合せを行うための旅費や、次年度に開催される確率過程の統計推測や計算統計理論およびその応用に関する国際研究集会で研究発表を行うための旅費などに使用する。
すべて 2015 2014
すべて 雑誌論文 (7件) (うち査読あり 7件、 謝辞記載あり 4件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (9件) (うち招待講演 3件) 図書 (1件)
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