| 研究課題/領域番号 |
24340007
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
大本 亨 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20264400)
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| 研究分担者 |
成瀬 弘 岡山大学, 教育学研究科(研究院), 教授 (20172596)
諏訪 立雄 北海道大学, -, 名誉教授 (40109418)
與倉 昭治 鹿児島大学, 理工学研究科, 教授 (60182680)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 数え上げ幾何 / 特異点論 / 特性類 / 半代数的集合 / 国際研究者交流（フランス，ベトナム） |
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| 研究実績の概要 |
（１）主要テーマのひとつである「トム多項式理論」（非線形シューベルト算法）において，古典的数え上げ幾何への応用について大学院生との共同研究を行った（１２月の京大数理研集会で結果発表）．１９世紀後半に展開された射影曲面の数値的不変量に関する数多ある「博物学的」業績群を，現代的な視点から整備する研究であり，その統一的な手法を開拓した．その際，射影曲面の射影変換による局所的分類等の基本的な問題が今まで整理されていなかったことが分かり，副産物として別の大学院生との共同研究としてこの分類を完成させた．（２）塩田昌弘氏（名大名誉教授）と共に，実半代数的集合あるいは実劣解析集合の三角形分割に関するたいへん基本的な定理を得た：Xを実半代数的集合とするとき，ある多面体KからXへの同相写像hで（Kのある近傍上で）C1級可微分であるものが構成できることを証明した（ただし，一般にはhの逆写像は可微分ではない）．基礎体は任意の実閉体でよい．この定理により，実半代数的集合上の微分形式の積分理論が通常の滑らかな多様体の積分理論と形式的に全く同様に展開できる．応用として，コンセビッチ・ソイベルマンによる区分的代数空間上のド・ラーム理論の簡明な基礎付けが与えられる．（３）８月末に北大にて「第２回日仏越特異点シンポジウム」を開催し，関係する研究者を多数招聘するなどして，国際研究者交流（フランス，ドイツ，ベトナム等）を深めた．研究分担者の與倉教授は，特異多様体のヒルツェブルフ特性類をドナルドソン・トーマス型不変量および対称積の特性類に応用して成果を挙げた．成瀬教授は組み合せ論で著名なラスクー教授と共同でグロタンディエク多項式に関する研究を進めた．諏訪教授は，チェック・ド・ラーム理論の体系的な整備を進めた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
実績の概要欄における（１）では，（古典的な）射影代数幾何への写像芽のA-分類およびトム多項式理論の応用を，かなり満足いく形で仕上げることが出来た．これについて２編の学術論文を準備しており，さらに今後の展開が期待できる．また副産物として曲面の射影微分幾何に関する話題と繋がり，リー・カルタンの動標枠理論と特異点理論の新たな接点が見えて来たのは，想定外の収穫であった．これも別の論文に纏め，現在投稿中である．いずれも古典的な射影代数幾何・射影微分幾何に対する現代的なアプローチによる新しい研究方向を与え，写像芽のA-分類理論の応用という面でも重要な意味がある．（２）は研究分担者の諏訪教授による質問に端を発し，実代数幾何の大家である塩田教授と共同で基本的かつ重要な結果を与えることができた（現在投稿中）．この結果は特性類の局所化と三角形分割に関する研究の基盤となるだろう．（３）研究分担者も特性類と数え上げ幾何の話題に関して十分な研究の進展を与えている．
以上のように，本申請課題の研究は想定通りに（部分的にはそれ以上に）進展していると言える．
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| 今後の研究の推進方策 |
古典的代数幾何へのトム多項式理論の応用は種々の（古典的）幾何的対象で検討されるべきものであり，これは順調に結果を生み出していく．一方，平成２７年度は本申請課題の最終年度となるため，懸案である「多重特異点型のトム多項式理論（トム-カザリアン原理）」の構築に向けて，ひとつひとつ足場を固めて行くことを計画している．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
２月に予定していた国内出張が本学の実務が入ったためにキャンセルしたことによる．
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| 次年度使用額の使用計画 |
国内出張に用いる．
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