| 研究課題/領域番号 |
24340009
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
山田 澄生 東北大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (90396416)
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| 研究分担者 |
大鹿 健一 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70183225)
山口 孝男 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 教授 (00182444)
石毛 和弘 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90272020)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 共形構造 / タイヒミュラー空間 / コットン・テンソル / ヒルベルト計量 / 凸幾何学 / リッチ流 |
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| 研究概要 |
本年度の研究計画では、2次元双曲曲面および正スカラー曲率3次元多様体の共形構造の退化の理解を介して、それぞれのモジュライ空間の境界集合の大域的構造の理解を目標に、以下の具体的な研究を施行した。
前者の課題に於いては、タイヒミュラー空間上に定義される3つの計量(タイヒミュラー計量、ベイユ・ピーターソン計量、サーストン計量)を用いつつ、双曲計量の助変数空間であるタイヒミュラー空間をファセットが無限個ある凸多面体として捉えることを試みた。その結果、タイヒミュラー空間の無限次元のユークリッド空間内への等長埋め込みを考えることの必然性が理解された。特に無限次元ユークリッド空間の第1象限に定義されるフンク計量およびヒルベルト計量の重要性を新たに認識し、これらの埋め込みの比較を通してタイヒミュラー空間上に定義される上記の3つの幾何学の統合を図った。またユークリッド空間内の凸体上で定義されるフンク計量およびヒルベルト計量の一般化として、定曲率空間上でもこれらの計量に対応するものが自然に定義できることをAthanase Papadopoulosとの共同研究としてまとめ、論文として発表した。
後者の課題に関しては、3次元多様体のリーマン計量から決まる共形構造の共形平坦性からの乖離を計る道具としてのコットン・テンソルに関する基本的な特徴付けを研究代表者の指導学生である梅原慶裕君と共に行った。コットン・テンソルは計量の3階微分によって定義されるテンソルであるため計算は複雑であるが、変形が明示的に示されるハイゼンベルグ群およびベルジェー球のリッチ流において、その挙動の特徴付けを行った。コットン・テンソルのL^1ノルムは共形不変量であることが知られており、リッチ流において必然的に現れる特異点の形成に際してL^1ノルムの挙動がどのように振る舞うか具体的な計算を試みた。この視点は、リーマン幾何の爆発現象を共形幾何の観点から見たときの理解を得る上で重要である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度中にタイヒミュラー空間を凸体として認識するプログラムにいくつかの具体的なアプローチが確立されたことは、これからの研究計画の発展に明らかな道筋がついた。またタイヒミュラー空間論の拡張という観点から3次元多様体の共形構造の空間を定式化するにあたって、コットン・テンソルの明示的な解析の基礎が確立できた。
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| 今後の研究の推進方策 |
タイヒミュラー空間の幾何学的構造の解明を無限次元ヒルベルト空間内の凸幾何学を通して行う。また3次元多様体の共形構造の退化現象をコットン・テンソルの爆発現象として特徴付けする。その際はリッチ流における知見を用いる。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
次年度使用額は、今年度の研究を効率的に推進一したことに伴い発生した未使用額であり、平成25年度請求額とあわせ、平成25年度の研究遂行に使用する予定である。
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