| 研究課題/領域番号 |
24340009
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| 研究機関 | 学習院大学 |
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研究代表者 |
山田 澄生 学習院大学, 理学部, 教授 (90396416)
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| 研究分担者 |
山口 孝男 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (00182444)
大鹿 健一 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70183225)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | モジュライ空間 / リーマン計量 / 共形幾何 / 射影幾何 / アインシュタイン方程式 / 正スカラー曲率 |
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| 研究実績の概要 |
2次元および３次元多様体上のリーマン計量、共形構造および射影構造等の幾何構造の族について、多様体上に定義された微分方程式系を用いて理解を進めた。特に2次元の文脈においては、リーマン計量、共形構造という2次形式に付随した幾何構造に加えて、必ずしも２次形式とは直結しない射影構造を新たに考慮することを、ヒルベルト計量とフンク計量というフィンスラー計量の導入を介して行った。この観点は凸幾何学および凸解析と密接な関係があり、曲面上の微分幾何学の新たな展開に繋がるべく研究を進めた。このプロジェクトの一環として、平成２５－２６年度に得られた結果をAthanase Papadopoulosとのジャーナル論文および解説論文として発表した。また３次元多様体上の構造として、漸近平坦かつスカラー曲率が非負であるようなリーマン計量からなるモジュライ空間内に、そのような計量の代表であるアインシュタイン・マックスウェル方程式の厳密解がどのように位置しているかを、アインシュタイン方程式に組み込まれたハミルトニアン汎関数の値に関する不等式を介して考察し、事象の地平線の極小曲面としての安定性とハミルトニアンの間に成り立つ不等式の関連を新しく定式化した。これらの結果を、共同研究者であるGilbert WeinsteinとMarcus Khuriとの共著の論文として発表した。これらの研究課題に関して、名古屋大学で大学院生を対象としたタイヒミュラー空間に関する連続講義を行い、またトルコのガラタサライ大学、およびギリシャのサモス島におけるサマースクールで主にヨーロッパと中東の大学院生を対象とした集中講義を行い情報発信を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
低次元多様体上に定義される幾何構造の変形理論が主題である本課題において、２次元と３次元の類似性と相違性の理解を比較を介して行うという目標は未だ達成されていないが、この問題意識に密接に結びつく３次元多様体上のアインシュタイン計量の共形類の変形に関する今年度得られた新たな知見は、タイヒミュラー理論の高次元版の定式化に結びつくことが予見される。一方で２次元ではタイヒミュラー空間の幾何構造、３次元ではアインシュタイン計量の特徴付けという形で、各々の文脈で具体的な進展が得られたことで来年度以降の研究計画の流れの必然性を確認することができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
２次元の文脈で、２つのリーマン多様体の間に成り立つリプシッツ連続な写像の族を特徴付けすることでモジュライ空間の描写を試みる。一方で３次元では、アインシュタイン計量と共形幾何学の相関性を、山辺汎関数およびコットン・テンソルという二つの道具立てで解析することを行う。またこれら２つの課題の間に、共形類の変形をいかに複数の幾何学的な道具立てをもちいて捉えるかという共通した問題意識を持ち続け、２次元と３次元の変形理論の統合的な構成を目指す。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
平成２６年度に予定していた海外研究者の招聘計画のうち、３名が先方の都合により実現しなかった。各研究者に約６０万円の経費を想定していたため、２００万円弱の基金分の補助金が未使用として、次年度に廻った。
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| 次年度使用額の使用計画 |
平成２６年度に招聘が実現しなかった海外研究者３名を、再度招聘する計画を立てている。
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