| 研究概要 |
まず,研究実施計画にあるとおり,与えられた森グラフを含むための条件に関する研究を行った.Brandt(1994)の定理によれば,Hを辺数kの森グラフとするとき,最小次数がk以上のグラフには必ずHと同型な部分グラフが存在することが知られている.この最小次数k以上という条件は,いくつかの森グラフについては最善であるが,多くの森グラフでは最善の値ではない.この事実に対し,最小次数k以上という条件が必要であるようなHの特徴づけを行うことから研究を行った.得られた結果は,やや技巧的な条件が付されるが,Hが木でもマッチングでもないとき,グラフGが頂点数2k-1以上で最小次数k-1以上であれば,GはHを部分グラフとして含む,という結果となった.それぞれの技巧的条件の必要性についてもわかっている.この流れでの今後の方向性としては,さらにこの条件が必要となる森グラフの特徴を調べることによって,森グラフのどのような性質が本質的に影響を与えるのかについて追及することになろう.
グラフが含む局所的な部分構造とグラフ全体にわたるさまざまな性質との関係についての研究についていくつかの成果が挙がった.局所的な部分構造としては,これまで多く研究がなされている禁止部分グラフに焦点をあて,頂点数の十分大きなグラフが,一定以上のタフネスを持つこと,完全マッチングやそれに準じた構造を持つこと,などをインプライする禁止誘導部分グラフ集合の完全決定について成果があがり,それを取りまとめることを行った.グラフのタフネスは,そのグラフから取り除く頂点数とそれにより生じる連結成分数の比に関する不変量で,完全マッチングの存在やハミルトン閉路の存在とも関係する.今後の極値問題の研究においても重要な役割を果たす可能性が大きい.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
グラフが与えられた森グラフを含むための条件について一定の進展が見られた.またそれ以外にも禁止部分グラフによる因子存在のための条件などについて成果があがっている.今後の研究の方向についても,国内外の研究者との討論により,いくつか芽生えているものもある.以上により,研究はおおむね順調に進展していると言える.
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き,与えられた森グラフが存在するための条件に関する極値問題を進める.また,完全マッチングに関連して,指定されたいくつかの辺を含む完全マッチングの存在に関する研究にも着手する.当初の計画にあるように,辺の数の少ないグラフに対する極値問題の研究を中心に進める.
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| 次年度の研究費の使用計画 |
多くの関連研究者と議論するため,国内外で開催される研究集会・国際会議で研究発表,情報収集,研究討論を行う.また同じ目的のために,新進気鋭の若手研究者を集めた研究集会を慶應義塾大学で開催する.
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