| 研究課題/領域番号 |
24340021
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
太田 克弘 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (40213722)
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| 研究分担者 |
田村 明久 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (50217189)
小田 芳彰 慶應義塾大学, 理工学部, 准教授 (90325043)
藤沢 潤 慶應義塾大学, 商学部, 准教授 (00516099)
石井 一平 慶應義塾大学, 理工学部, 准教授 (90051929)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | グラフ理論 / 極値問題 / 森グラフ / 完全マッチング / 弦付きサイクル / シータグラフ / 国際情報交換 / 台湾 |
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| 研究概要 |
森グラフに関する極値問題に関連して，木とスターグラフに対するグラフラムゼー数に関する研究を行った．２つのグラフ G, H に対して，グラフラムゼー数 R(G,H) とは，どんな R 頂点のグラフも G を部分グラフに含むか，その補グラフが H を部分グラフとして含む，という性質を満たすような最小の整数 R のことである．木 T とスター K1,m に対するグラフラムゼー数 R(T,K1,m) は，頂点数 R のグラフにおいて最小次数がどのくらい以上であれば T を部分グラフとして含むか，という問題に対応する．この問題は，R が T の頂点数に近くなるにつれて難しくなるが，これまで知られている結果より広い範囲の T と m に対してラムゼー数を決定することができた．
指定されたいくつかの辺に対しそれらを含む１-因子（完全マッチング）を見つける問題を扱った．とくに５連結平面グラフにおいて，指定された辺のばらつき具合を考慮に入れた拡張性について，何本の辺までが指定できるかに関して最善の結果を得ることができた．とくに辺同士が互いに距離４以上である場合には，何本指定してもそれらを含む完全マッチングが存在することを示した．
グラフの極値問題の中でも，点素なサイクルの存在に関するものは数多くの研究がある．サイクルより辺数の多い，弦付きサイクル，シータグラフを点素に見つける問題を扱い，特に同型なそのようなグラフが k 個点素に見つかるための次数条件についての研究を行った．頂点数が十分に大きいグラフにおいては，弦付きサイクルについては最小次数 3k+c（cは定数）を，シータグラフについては最小次数 2k+c を仮定すると k個の同型な部分グラフが k 個点素に見つかることが示された．この定数 c をどこまで下げられるかが今後の研究課題である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
森グラフに関する極値問題から派生して，木のラムゼー数に関する研究が進んだ．また因子問題から派生して，平面グラフにおける完全マッチングへの拡張性に関して大きな進展があった．弦付きサイクルやシータグラフに関する研究も成果が挙がりつつあり，今後の研究の方向についても，国内外の研究者との討論により進んでいる．以上により，研究はおおむね順調に進展していると言える．
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き，与えられた木や森グラフが存在するための条件に関する極値問題を進める．与えられた形の全域木が存在するための次数条件についても研究を進める．弦付きサイクルやシータグラフに関する極値問題も，次数条件を最善のものに近づける試みを続ける．当初の計画にあるように，辺の数の少ないグラフに対する極値問題の研究を中心に進める．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
参加を予定していた国際会議（45th Southeastern International Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing）への参加ができなくなったため．
本研究課題はグラフ理論の幅広い問題と関連するため，多くの関連研究者と議論できる機会を作るため，国内外で開催される国際会議に参加し情報収集を行う．国際会議では，５月に日本大学で開催されるJapan Conference on Graph Theory and Combinatorics 2014, ６月にミネアポリスで開催される SIAM Conference on Discrete Mathematics, 国内研究集会では，新潟大学で８月に開催される離散数学とその応用研究集会，龍谷大学で１２月に開催される応用数学合同研究集会，９月および３月に開催される日本数学会等への参加，発表を行う．また，これら国内外の研究集会に参加することに加え，情報収集と研究討論を目的とした研究集会を慶應義塾大学で開催する．
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