| 研究課題/領域番号 |
24340024
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
久保 英夫 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (50283346)
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| 研究分担者 |
片山 聡一郎 和歌山大学, 教育学部, 教授 (70283942)
高村 博之 公立はこだて未来大学, 公私立大学の部局等, 教授 (40241781)
星賀 彰 静岡大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (60261400)
中村 誠 山形大学, 理学部, 教授 (70312634)
土井 一幸 富山県立大学, 工学部, 講師 (80608331)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 非線型波動方程式 / 漸近的に平坦な計量 / 時間大域解 / 解の爆発 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は空間遠方において計量が平坦であるような時空間における非線型波動方程式を考え，それに対する初期値問題の大域可解性やその大域解の漸近挙動を解明することである．計量の摂動による効果を調べることは原点付近に障害物のある外部問題を解の挙動を調べることと密接な関連があるので，平成25年度に引き続き，平成26年度も外部問題の解析を中心に研究を進めた．具体的には，解が光円錐の錘状近傍以外では強い減衰を示すことを，非線型性が強い場合であっても証明するための手法を検討し整理した．それにより，光円錐の錘状近傍以外で減衰度の異なる解自身とその導関数の両方に非線型項が依存しているような解析が難しい場合にも，解の存在する最大時間に関して精密な評価を得ることができた．
一方で，計量がミンコフスキー計量から離れている典型例として，ポテンシャル摂動の場合に考察し，光円錐の錘状近傍以外における解の減衰度について詳しく調べた．そのポイントは解のレゾルベント表現を巧みに用いることにより，ポテンシャル項の減衰性から積分作用素の収束と同時に解の減衰を抽出するというものであり，最後の詰めの部分が残っているものの近く完成するものと考えている．この試みが成功すれば，より一般の摂動に対してもレゾルベント表現が可能な範疇において意味のある結果が導かれることが期待される．
また，国際研究集会を組織し，そこに招聘した国内外の一流の研究者と意見交換を行うことにより，本研究課題の位置づけを俯瞰的に捉えることが可能となった．
このように，空間遠方においては計量が平坦であるような時空間における非線型波動方程式の解の定量的な性質の統一的な理解が進むように様々な観点から研究を行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成26年度の研究計画として次のような内容を想定していた．計量が漸近的に平坦な場合に，
1．非線型波動方程式に対する近似解の構成する；
2．非線型波動方程式の解に対する最大存在時間の下からの評価を求める；
3．非線型波動方程式の爆発解に対する最大存在時間の上からの評価を求める．
これらの研究計画に対して，本年度は主に外部問題の解析に重点を置き，その解析手法の整理に時間を要したため，これらの目標を完全にクリアーするには至らなかった．それでも，項目2に関しては，解のレゾルベントによる表示を用いて，光円錐の錘状近傍以外での強い減衰度を導くところまで後一歩と迫っており，それが完成すれば最大存在時間の下からの評価は直ぐに導くことができる．実際，解の存在時間を初期値のサイズによって精密に評価するには，解の減衰に関する最適な評価があれば十分なことがわかっている．また，項目1に関しては，外部問題に対しては既に解決済みであり，その議論をポテンシャル摂動の場合に拡張することは，少なくともポテンシャル項がコンパクトな台をもっているか，あるいはより弱く十分速く減衰しているという仮定の下では，それ程難しい問題ではないと考えている．更に，そうして近似解を構成することができれば，準線型の場合には幾何学的爆発という手法を用いて解の爆発を示す議論を見通し良く行うことが可能となるので，項目3についても解決の目途が立つこととなる．また，半線型の場合には解の積分量を用いて爆発を示す手法が外部問題に対して確立されているので，適当な重み函数を見つけることができれば，最大存在時間の上からの評価を導くことができる．以上の理由から本研究の現在までの達成度は，おおむね順調に進展していると評価できる．
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| 今後の研究の推進方策 |
平成27年度には次のように研究を進め，本年度十分なし得なかった上述の研究目標をクリアーし，更に本研究課題の研究目的を達成する：
片山氏との共同研究を進め，外部問題に対して共同で行った遠方場に関する解析を，計量が漸近的に平坦な場合に，解のレゾルベント表示を用いて拡張し，非線型摂動に対する近似解を構成する．その第一段階はポテンシャル摂動の場合に遠方場を構成することである．同時に，土井氏との共同研究を進め，非線型摂動の問題を扱う際に必要となるポテンシャル項をもつ非斉次波動方程式の解に対する重み付き各点評価を確立する．その様な評価は解の最大存在時間の精密な評価を導く際に役立つ．また，中村氏との共同研究を進め，同じ問題に対する時空自乗可積分評価を導く．これは非線型項が劣臨界な場合に有効な評価である．その際，波動方程式の局所平滑化効果との関連を意識しつつ進め，より深い構造の発見を目指す．一方で，高村氏との共同研究を進め，解の爆発問題を扱うのに必要となるポテンシャル項をもつ斉次波動方程式の解に対する重み付き積分平均について下からの評価を導く．また，星賀氏との共同研究を進め，幾何学的爆発の手法を用いて，非線型項が臨界または劣臨界な場合に解の爆発を示す．さらに最大存在時間の上からの評価を求める．
これらの研究を精力的に行い，予定通りの成果を挙げることができれば，本研究課題申請時におけるロードマップに追いつく形となる．平成27年度には，これらの基礎的な研究成果を基に論文をまとめ，本研究課題全体を総括できるように努める．なお，平成26年度の研究費の使途については，上述のように研究代表者と研究分担者が密に研究打合せを行い，協働作業を推進する必要があるので，主に旅費に充てる．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
購入予定であった消耗品を購入しなかったため
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| 次年度使用額の使用計画 |
H27年度の予算と合わせ、PC周辺機器（消耗品）を購入する
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