| 研究課題/領域番号 |
24340026
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
河合 隆裕 京都大学, 数理解析研究所, 名誉教授 (20027379)
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| 研究分担者 |
竹井 義次 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (00212019)
小池 達也 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (80324599)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 完全WKB解析 / ボレル総和法 / 超局所解析学 / 解析学S-行列論 / 無限階微分作用素 / 再生函数 / alien derivative / 単純極作用素 |
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| 研究概要 |
1.S-行列の摂動展開をボレル総和法の見地から見直すことにより、m-粒子threshold(m≧3)の近傍でのS-行列の解析的構造の研究を行った。これは超局所解析的S-行列論で残された重要な問題であるm-粒子thresholdの近傍での「佐藤予想」の然るべき補正を目標とするものである。本年度の研究を通して我々は、過去になされた「超局所解析的研究」は「正しいことを示しているが今一理解不足であった」と云う感じを持つに到った。具体的に言えば「正αランダウ-中西多様体の有限性」は「複素ランダウ・中西多様体の有限性」を保証しない、と云うのは正しいけれど、摂動展開にボレル総和法が適用できることをAnsatzとして3粒子thresholdの近くでのファインマン積分の特異性を調べることによりこの2つの有限性の差は過去に思われていた程大きなものでないことが(少くとも時空次元が2の場合に、上のAnsatzを認めた上で)本多尚文(北海道大学)との共同研究により確認された。さらに、このような具体的な解析を通じて、ファインマン積分の満たす極大過剰決定系の構造に関する(今迄提起されて来なかった)種々の問題が視野に入ってきた。それ等は本計画の当事者以外にも広く知ってもらった方が斯学の進展に望ましいと考え、平成24年10月24日に、本多尚文・河合隆裕の両者が数理解析研究所研究集会「Recent development of microlocal analysis and asymptotic analysis」に於いて、「Micro-analytic S-matrix theory revisited」と云う講演を行った。
2.竹井義次・小池達也が協力して2階非斉次常微分方程式の形式解がボレル総和可能である為の十分条件を青木貴史・河合隆裕・竹井義次が発見した完全最急降下法を用いて記述することに成功した。(RIMS・Preprint 1760)これは本計画の一つの大きな目標である「高階方程式のWKB解のボレル総和可能性の証明」の出発点となる研究である。
3.単純極作用素のポテンシャルがη^<-1>x^<-2>の形の項を含む場合のWKB解のボレル変換像の構造を無限階分作用を用いて記述する新しい手法(微分作用素の表象理論を用いる)を河合が発見したので、この角度からWhittaker方程式、Legendre方程式等のWKB解のalien derivativeの計算を実行することを試みている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
高階方程式の解のボレル総和可能性の証明に際し重要な役割を果たすと思われる、「完全最急降下法」を用いての2階非斉次方程式の解のボレル総和可能性の証明が得られ、又、η^<-1>χ^<-2>の形の項をそのポテンシャルに含む単純極型方程式のWKB解のボレル変換像の解析に無限階微分作用素が有用であることが発見される等、次年度以降の研究の出発点となると思われる興味深い成果を得ることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
単純極作用素の解析に際して発見された表象理論を用いる新手法を再生函数の一般論と融合させることを、表象理論を専門とする数理解析研究所機関研究員神本晋吾も加えて、試みる。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
本年度に得られた研究成果の熟成を待って国際的な舞台でその公表を行うことを次年度に計画しているので、たとえ少額であってもその計画遂行の為の旅費の一部として使うことが得策と判断した。
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