| 研究課題/領域番号 |
24340026
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
河合 隆裕 京都大学, 数理解析研究所, 名誉教授 (20027379)
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| 研究分担者 |
竹井 義次 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (00212019)
小池 達也 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80324599)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 完全WKB解析 / 超局所解析学 / 無限階微分作用素 / 再生函数論 / 仮想的変わり点 / 完全最急降下法 / 高階パンルヴェ方程式 / ランダウ・中西曲面 |
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| 研究概要 |
１．河合と小池は京都大学機関研究員 神本晋吾と協力して「無限階微分作用素をWKB解析に応用すること」を目標に，微分作用素の表象理論と再生函数論の融合を試みた。理論の概要は河合がCIRM（マルセイユ）での国際会議で報告し（2013年9月25日），多くの研究者の注目する所となったのは幸いであった。「本質的特異性（essential singularity）を持つ再生函数の理論」が具体的な問題に有用であることを示したのが注目された理由であろう。（本論文は現在準備中）
２．竹井と小池は2階非斉次方程式の解（従って本質的には3階斉次方程式の解析に通じる）のボレル総和可能性に関する議論を展開し，完全最急降下路の考え方の有用性を示した。（Bessatsu B40（2013））
これは平成26年度の主要研究目標に予定している「仮想的変わり点の幾何学的構造の研究」と併せて高階方程式のWKB解のボレル総和可能性の研究の出発点となるものである。
３．河合は連携研究者 本多尚文（北海道大学理・准教授）と協力して場の量子論におけるS行列の摂動展開級数の係数（ファインマン積分）の特異点の幾何学（ランダウ・中西幾何学）を計算機を接用して研究し，特に3粒子閾値の近くでの様相が（時空次元が2の時）予想以上に簡単であることを示して，所謂“Sato's postulates”の幾何学的側面を解明した。特にacnodeが正αランダウ・中西曲面の内点には現われないこと，そして，一見それが現われるかに見えるのは“Whitneyの傘”の複素化を局所的に考えるか，或いは大域的に考えるかに依ることを示したのはランダウ・中西幾何学の研究において基本的な重要性を持つと思われる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
無限階微分作用素の理論と再生函数論の融合による理論の展開とその応用は、完全WKB解析の理念のよい具象化として意義のある結果で「研究目的」によくかなったものと言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
竹井・小池の２階非斉次方程式の解析を踏まえて「仮想的変わり点」の幾何学構造を完全最急降下法の考え方も取り入れつつ調べるのが適当な時が来たと考える。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
Adv. in Math.に掲載が決定した論文の別刷代金の支払予定を尋ねられた（平成26年3月）ので当助成金をその支払いに充てる計画をし、その一部分を平成25年度分助成金の繰越によることとした。
現在Adv. in Math.で印刷中の S. Kamimoto, T. Kawai and Y. Takei, Exact WKB analysis of a Schrodinger equation with a merging triplet of two simple poles and and one simple turning point, I and II. の別刷購入代金の一部に充てる。
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