| 研究概要 |
複素変数および実変数の二種類のDym方程式に対して、可積分性を保つような差分化を提出した。複素と実のそれぞれの場合について、空間離散時間連続の半離散Dym方程式および空間時間ともに離散の全離散Dym方程式を構成し、それらの方程式系に対する一般的なNソリトン解を導出した。ホドグラフ変換に現れる変数を、可積分系の理論において本質的な役割を果たすタウ函数を用いて明示的に表すことによって、可積分系の双線形化法に基づく離散化の方法を、このクラスの発展方程式系に対して直接応用することが可能になった。解は独立変数、従属変数ともに行列式を用いて与えられる。
ある種の曲線の運動を記述する可積分系が二成分KP階層の簡約から得られることに着目し、曲線のFrenet-Serret標構を\tau函数を用いて表すと、(1,1)簡約された二成分KP階層の\tau函数に関する有理式が得られる。その高次元の多様体の場合への拡張と、多成分結合型可積分系の\tau函数との関係について考察した。
二成分KP階層に属する代表的な方程式である非線形Schr\"odinger方程式について、その空間離散類似であるAblowitz-Ladik方程式系を考え、離散系におけるローグ波について考察した。連続系と離散系において、解の数学的構造には共通性が見られるが、独立変数が離散点上でしか定義されないために、解の挙動には本質的な相違が現れることを明らかにした。
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