| 研究課題/領域番号 |
24340031
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| 研究機関 | 明治大学 |
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研究代表者 |
砂田 利一 明治大学, 公私立大学の部局等, 教授 (20022741)
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| 研究分担者 |
楯 辰哉 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (00317299)
樋口 雄介 昭和大学, 教養部, 講師 (20286842)
阿原 一志 明治大学, 総合数理学部, 教授 (80247147)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 離散幾何解析学 / 結晶構造 / 複素2次曲面 / 有理点 / 準結晶 |
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| 研究実績の概要 |
大域解析学において培ってきたアイディアを基にして、代表者（砂田）はグラフ（有限、無限の双方を含む）上の作用素（隣接作用素、離散的ラプラシアン、ランダム・ウォーク及び量子ウォークに対する推移作用素、磁場を持つ離散シュレディンガー作用素）などの解析を行ってきた。これらの研究を基盤として、グラフ上の解析学を幾何学的構造に結び付けて研究する分野である離散解析幾何学を主唱してきた。
2016年度の研究では、ユークリッド空間内の離散集合の「一様分布性」の概念を定式化し、特に原始的ピタゴラス数の漸近分布を「準結晶」の観点から研究した。これまでに数学的に定式化された準結晶構造とは異なるのであるが、リーマン・ゼータの零点分布を含むnear quasicrystalというべき構造が登場する。
また、2次元結晶の標準的実現と、複素2次曲面の有理点の間には密接な関係があることを見出し、一般次元の場合には、wavelet analysisにおける概念であるtight frameと関連づけられることを発見した。tight frameが結晶構造と関係する場合は、ある種の不定方程式の幾何学的解法に関係する。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
まったく異なる出所であるtight frameの概念と結晶構造の間の関係を明らかにしたことは、大きな成果である。また、この関係を通じて、複素2次曲面の有理点と2次元結晶の標準的実現が結びつくことが明らかにされ、数論と結晶理論の間の興味深い関係も明らかになった。
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| 今後の研究の推進方策 |
離散幾何解析学の研究は、ますますその適用範囲を広げつつあり、2015年度から基盤研究（Ａ）として研究を続ける予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
学部長としての職務による多忙さが理由で、予定していた研究集会、出張などが実行できなかったことによる。
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| 次年度使用額の使用計画 |
国外出張、研究会の開催に使用。
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