| 研究課題/領域番号 |
24500006
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 群馬大学 |
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研究代表者 |
天野 一幸 群馬大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (30282031)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | 論理関数 / 計算量 / グラフ / 計算機援用証明 |
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| 研究概要 |
本研究の主目的は，論理関数の複雑さを始めとする計算量の下界導出問題に対して，計算機援用型の証明手法を開発，適用することである．本年度は，特に，論理関数の複雑さと密接な関係のある様々な尺度について，そのふるまいや相互の関係等を明らかにすることを中心に研究を行った．
まず，論理関数の入力の変化に対する出力の変化のし易さを表す感受度と呼ばれる尺度と，論理式の構造との関係について精査した．その結果，論理式を積和標準形で表現したときの各節の隣接構造と，論理関数の感受度に密接な関係があることを明らかにすることに成功した．更には，計算機を用いて，この種の性質を満たす極値的な構造を列挙した．
また，論理関数の真理値表を０－１行列で表現した場合の階数に対する未解決問題や，通信計算量に関する重要な未解決問題が，ある種のグラフの効率的な分解を求めることと等価であることを明らかにすることに成功した．これにより，計算量の解析にグラフ理論分野で培われた豊富な理論が利用できることになった．この問題の中で最も重要である完全グラフに対して，従来知られるものより優れた分解を実際に構成することに成功した．先に述べた問題間の等価性より，この結果は直ちにいくつかの未解決問題に対する解を与えることとなる．また，完全グラフの分解については，小規模なグラフに対する問題を整数計画問題に還元し，これを実際に計算機を用いて解くことによって，真に最適な分解を得ることをも行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
計算機援用型の計算量の下限導出手法の開発に向けて，その端緒となるいくつかの具体的事例に対して新たな結果を得ることに成功したため．
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| 今後の研究の推進方策 |
次年度以降は，今年度得られた論理関数の様々な尺度に関する基礎的結果をベースに，これを一般化および大規模化することにより，新たな計算量の下界導出手法の開発へと結びつけることを目指す．
特に，今年度得られた，グラフに対するある種の分解を求める問題と，いくつかの計算量尺度の関係に関する問題との等価性についての結果をベースに,より広範な分解手法やグラフ構造について精査することを重点的に行うものとする．今年度は，特に，完全グラフの分解に重点をあてて精査を行ったが，次年度は，まず，この結果が真に最良なものであるのか，あるいは，より効率的な分解が存在するのかについて，理論的手法および計算機実験を用いた実験的手法の両面から明らかにすることを目指すものとする．
また，得られた結果を拡張することによって，より一般的なグラフについての効率的分解を求めることをも目指すものとする．一般に，この種の分解問題は，整数計画問題として定式化できる．本研究経費で購入した計算機を用いて，得られた問題を実際に解くことを通じて具体的事例を得，更にこれを一般化することを通じて，より大規模なスケールの問題に適用可能な理論を得ることを目指す．
得られた成果は，国内外の研究会や学会等において積極的に発表する．また，特に，最適化理論に関する研究者との意見交換や最新技術に関する情報交換を積極的に行い，当該分野における最新手法を取り入れることで，より効率的な研究の遂行を目指す．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
今年度，計算機実験のため中規模の並列計算機の購入を予定していたが，研究の初段階において生成された問題に対する予備的実験のため，当初予定より小規模の計算機を購入した．このため設備備品費の使用額が予定額を下回った．今年度の実験により，当該アプローチの有効性が確認できたため，次年度は，当研究費と合わせ，実際に中規模の並列型計算機を購入し，今年度より大規模な実験を高速に行いうる環境を整える．
また，当初予定していた国際会議への参加が，本務校との業務の兼ね合いにより実現できなかったため旅費の使用額が予定額を下回った．次年度は，特に欧州で行われる組み合わせ論に関する国際会議への参加やこれにおける討論による最新技術の取得等を加えて，積極的な研究活動を展開する．
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