| 研究実績の概要 |
本研究は、基礎の代数構造を有限体からガロア環へ拡張し，そこでの組合せ数学，特に差集合，符号，デザイン等の新しい構成原理を得ることを目的とする．具体的には，標数と拡大次数を動かし，ガロア環にその性質を保持する入れ子構造をもつ差集合，符号，デザイン等の系列を構成することである．最終目的は，p進体の組合せ理論の構築であり，そのための手がかりを得たい．今年度は，前研究で得られたガロア環の差集合の系列の結果を踏まえて，局所体である２進体の整数環のある部分集合をガロア環に射影すると，入れ子構造を持つ差集合の系列が得られることを証明した．p進log関数や形式群が重要な役割を果たす．この研究結果は，Proceedings in Mathematics and Statisticsに掲載受理された．
最終目的であるp進体の組合せ理論の構築に大きな手がかりになると確信している．また，局所体の整数環の部分集合の射影像としてガロア環の組合せ構造をとらえるという新しい視点と研究方法を与えた．
基礎代数構造が有限体である場合には、非対称かつ原始的なアソシエーションスキームの存在性について, あるパラメータでの非存在性を証明するとともに, 他のパラメータで新たな構成法の提示も同時に行った. 有限体上の射影空間におけるCameron-Lieblerの直線集合と呼ばれる組合せ幾何構造について, 新たなパラメータでの無限族を発見することができた. これらの研究成果は, それぞれ国際学術誌Journal of Algebraic CombinatoricsおよびJournal of Combinatorial Theoryに投稿、掲載され、国内の2つの研究集会で口頭発表を行った. その他, 標数がpの２乗のガロア環上で新たな差集合族の無限族を発見し, 今後は, その構成法の更なる一般化に取り組む予定である.
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