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2012 年度 実施状況報告書

双曲的代数曲線の幾何学的性質とその数論的基本群の群論的性質の関連の研究

研究課題

研究課題/領域番号 24540016
研究種目

基盤研究(C)

研究機関京都大学

研究代表者

星 裕一郎  京都大学, 数理解析研究所, 講師 (50456761)

研究期間 (年度) 2012-04-01 – 2015-03-31
キーワード遠アーベル幾何学 / 組み合わせ論的遠アーベル幾何学 / 三点基 / 組み合わせ論的カスプ化 / テンパード基本群 / グロタンディーク予想 / 多重双曲的曲線 / ホッジ・テイト保存性
研究概要

1、研究実施計画で述べた「組み合わせ論的遠アーベル幾何学の基礎理論の整備」として、望月新一氏と共同で、組み合わせ論的遠アーベル幾何学に関する以下の研究を行った。「三点基と組み合わせ論的カスプ化」をキーワードとして、「カスプを保つかどうかわからない同型射に対する組み合わせ論的グロタンディーク予想型の結果」「ファイバー適合的な同型射に対する組み合わせ論的カスプ化」「三点基の同期化」「組み合わせ論的カスプ化の貼り合わせの理論」といったトピックの研究を行い、また、「三点基とテンパード基本群」をキーワードとして、「『だいたい副シグマ商』に対する組み合わせ論的グロタンディーク予想型の結果」「『だいたい副シグマ商』に対する組み合わせ論的カスプ化の単射性部分」「テンパード基本群への応用」の研究を行った。
2、従来の数論的な遠アーベル幾何学、特に、グロタンディーク予想の研究として、多重双曲的曲線に対するグロタンディーク予想の研究を行い、特に、適当な体上の次元が4以下の多重双曲的曲線に対するグロタンディーク予想を証明した。2次元以上の代数多様体に対するグロタンディーク予想の研究はこれまでそれほど行われていなかったという観点から、この研究は少なからず重要な意義を持っていると考えられる。また、従来の遠アーベル幾何学に関するその他の研究として、局所体の絶対ガロア群の間のホッジ・テイト保存的開準同型射が幾何的となるという定理を証明した。これは、望月新一氏による局所体の絶対ガロア群の間の開準同型射の幾何性に関する一連の研究の自然な延長線上にある結果と考えられる。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

組み合わせ論的遠アーベル幾何学の基礎理論の整備では、当初から目標としてきたトピック「ファイバー適合的な自己同型射たちに対する組み合わせ論的カスプ化」「三点基の同期化」「イヴアンドレ氏による大域的なガロア群の中の局所部分の特徴付けの一般化」に対して、満足のいく結果が得られている。また、数論的な観点による従来の遠アーベル幾何学の研究では、当初の目標であった「小さい数体上の代数曲線に対する双有理セクション予想へのアプローチ」とは異なる進展ではあるが、「多重双曲的曲線に対するグロタンディーク予想(つまり、ある高次元多様体に対するグロタンディーク予想)」「局所体に対するグロタンディーク予想(つまり、ある0次元多様体に対するグロタンディーク予想)」といった、充分に意義のある結果を得ることができた。

今後の研究の推進方策

当初の目標のとおり、今後も組み合わせ論的遠アーベル幾何学の基礎理論の整備、より具体的には、申請書への記述のとおり、「組み合わせ論的セクション予想」「双曲的リーマン面のサイクルの標準持ち上げ」「これまで得られた組み合わせ論的遠アーベル幾何学における結果の離散版」の研究を行っていくつもりである。また、再び申請書への記述のとおり、適当な数体上の代数曲線に対する双有理セクション予想や有限体上の双曲的代数曲線の有理点から生じるガロアセクションの研究を行うつもりである。

次年度の研究費の使用計画

該当なし

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2013 2012 その他

すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件) 学会発表 (4件) (うち招待講演 4件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] Corrigendum to “Tame-blind extension of morphisms of truncated Barsotti-Tate group schemes”2012

    • 著者名/発表者名
      Yuichiro Hoshi
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Sciences, The University of Tokyo

      巻: 19 ページ: 309-312

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Topics surrounding the combinatorial anabelian geometry of hyperbolic curves I: Inertia groups and profinite Dehn twists2012

    • 著者名/発表者名
      Yuichiro Hoshi and Shinichi Mochizuki
    • 雑誌名

      Galois-Teichmuller Theory and Arithmetic Geometry (Adv. Stud. Pure Math.)

      巻: 63 ページ: 659-811

    • 査読あり
  • [学会発表] 遠アーベル幾何学概論2013

    • 著者名/発表者名
      星裕一郎
    • 学会等名
      第10回城崎新人セミナー
    • 発表場所
      兵庫県豊岡市城崎市民センター
    • 年月日
      20130221-20130221
    • 招待講演
  • [学会発表] 双曲的な代数的リーマン面の配置空間の基本群の間の同型射について2012

    • 著者名/発表者名
      星裕一郎
    • 学会等名
      代数幾何とその周辺
    • 発表場所
      北海道大学
    • 年月日
      20120806-20120806
    • 招待講演
  • [学会発表] Conditional results on the birational section conjecture over small number fields2012

    • 著者名/発表者名
      星裕一郎
    • 学会等名
      Galois covers and deformations
    • 発表場所
      Universite de Bordeaux 1 (フランス)
    • 年月日
      20120628-20120628
    • 招待講演
  • [学会発表] On the Grothendieck conjecture for hyperbolic polycurves2012

    • 著者名/発表者名
      星裕一郎
    • 学会等名
      Mini-workshop on arithmetic geometry and related topics
    • 発表場所
      京都大学
    • 年月日
      20120409-20120409
    • 招待講演
  • [備考] 星 裕一郎 の ホームページ

    • URL

      http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/index.html

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公開日: 2014-07-24  

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