| 研究課題/領域番号 |
24540016
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
星 裕一郎 京都大学, 数理解析研究所, 講師 (50456761)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | 遠アーベル幾何学 / 組み合わせ論的遠アーベル幾何学 / 三点基 / 組み合わせ論的カスプ化 / テンパード基本群 / グロタンディーク予想 / 多重双曲的曲線 / ホッジ・テイト保存性 |
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| 研究概要 |
１、研究実施計画で述べた「組み合わせ論的遠アーベル幾何学の基礎理論の整備」として、望月新一氏と共同で、組み合わせ論的遠アーベル幾何学に関する以下の研究を行った。「三点基と組み合わせ論的カスプ化」をキーワードとして、「カスプを保つかどうかわからない同型射に対する組み合わせ論的グロタンディーク予想型の結果」「ファイバー適合的な同型射に対する組み合わせ論的カスプ化」「三点基の同期化」「組み合わせ論的カスプ化の貼り合わせの理論」といったトピックの研究を行い、また、「三点基とテンパード基本群」をキーワードとして、「『だいたい副シグマ商』に対する組み合わせ論的グロタンディーク予想型の結果」「『だいたい副シグマ商』に対する組み合わせ論的カスプ化の単射性部分」「テンパード基本群への応用」の研究を行った。
２、従来の数論的な遠アーベル幾何学、特に、グロタンディーク予想の研究として、多重双曲的曲線に対するグロタンディーク予想の研究を行い、特に、適当な体上の次元が４以下の多重双曲的曲線に対するグロタンディーク予想を証明した。２次元以上の代数多様体に対するグロタンディーク予想の研究はこれまでそれほど行われていなかったという観点から、この研究は少なからず重要な意義を持っていると考えられる。また、従来の遠アーベル幾何学に関するその他の研究として、局所体の絶対ガロア群の間のホッジ・テイト保存的開準同型射が幾何的となるという定理を証明した。これは、望月新一氏による局所体の絶対ガロア群の間の開準同型射の幾何性に関する一連の研究の自然な延長線上にある結果と考えられる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
組み合わせ論的遠アーベル幾何学の基礎理論の整備では、当初から目標としてきたトピック「ファイバー適合的な自己同型射たちに対する組み合わせ論的カスプ化」「三点基の同期化」「イヴアンドレ氏による大域的なガロア群の中の局所部分の特徴付けの一般化」に対して、満足のいく結果が得られている。また、数論的な観点による従来の遠アーベル幾何学の研究では、当初の目標であった「小さい数体上の代数曲線に対する双有理セクション予想へのアプローチ」とは異なる進展ではあるが、「多重双曲的曲線に対するグロタンディーク予想（つまり、ある高次元多様体に対するグロタンディーク予想）」「局所体に対するグロタンディーク予想（つまり、ある０次元多様体に対するグロタンディーク予想）」といった、充分に意義のある結果を得ることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
当初の目標のとおり、今後も組み合わせ論的遠アーベル幾何学の基礎理論の整備、より具体的には、申請書への記述のとおり、「組み合わせ論的セクション予想」「双曲的リーマン面のサイクルの標準持ち上げ」「これまで得られた組み合わせ論的遠アーベル幾何学における結果の離散版」の研究を行っていくつもりである。また、再び申請書への記述のとおり、適当な数体上の代数曲線に対する双有理セクション予想や有限体上の双曲的代数曲線の有理点から生じるガロアセクションの研究を行うつもりである。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
該当なし
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