| 研究実績の概要 |
まず代数曲線の退化ファイバー芽の不変量の研究については、主として種数3の非超楕円的ファイバー芽のHorikawa指数の決定問題に取り組み次の進展を得た。我々の基本方針は、2009年に吉川謙一氏と共に提示した安定曲線のモジュライ空間上の符号数因子を用いる方法と, 筆者が[Comment. Math. Helv.,2010] で示した符号不足数の方法を組み合わせるものであるが、このうち前者の方法の具現化が懸案であった。これに対し前年度得たアイデアをさらに拡張し、Lefschetz ファイバー芽の自己同形群のケーラー微分と双対化層のテンソル積の大域切断への表現を詳しく見ることによって、この場合の符号数因子の引き戻しの寄与が明示化できるようになった。この量と符号不足数からの寄与を合わせて計算すると不思議なcancellation が起こり簡明な答となる。これによりモジュライ空間の高々余次元1特異跡をモジュライ点に持つ場合については問題は解決し、それを目的とする論文の執筆を開始した。
もう一つのテーマである高次元連分数の数論的応用については、本年度はFujiki-Oka特異点解消から自然に生じる2次元連分数を用いて3次代数体の基本単数の明示公式を得ようとすることに取り組んだものの途中段階のままである。すなわち与えられた3次体の整環の生成元の組を射影平面の点として固定するSL(3,Z)の中の固定化部分群と、対応する3次整形式はうまく描写できるが、その不定方程式をFujiki-Oka型アルゴリズムに対応する連分数行列を用いて解くには至っていない。Fujiki-Oka トーリック写像自体は、4年間全体の成果として高次Dedekind 和のZagier相互律の拡張や巡回商特異点解消の例外集合の幾何などへの有用性が明らかになったので、今後もこれらを含む様々な応用を探ってゆく予定である。
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