有限体上の代数曲線論とその応用としての符号・有限幾何

2012 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 24540056
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 研究機関: 神奈川大学
• 研究代表者: 本間 正明 神奈川大学, 理学部, 教授 (80145523)
• 研究期間 (年度): 2012-04-01 – 2015-03-31
• キーワード: 有限体 / 代数曲線 / 超曲面 / 「国際情報交換」韓国，アメリカ合衆国 / 「国際研究者交流」ブラジル

研究概要

「有限体 F 上定義された代数曲線，あるいはもっと一般に高次元の代数多様体の F-有理点のなす幾何を調べ，それを符号理論，有限幾何に応用すること」を目的として着手した本研究は動機および道具の両面にわたって，研究代表者がかつて確立した定理，
Sziklai bound に関係している．Sziklai bound とは，「F がq個の元からなるとき，F-直線を成分に持たないような，F上定義された次数dの射影平面曲線のF-有理点の個数は，ただ一つの例外な曲線を除いて，(d-1)q +1 で上から抑えられる」という主張であるが，この事実を基礎として，2012年度は二つの事柄，すなわち，「(a) 一般の射影空間内に次数 d の曲線があるとき，Sziklai bound は有効であるか？言い換えれば，この曲線がq個の元からなる有限体上の有理点を N個持つとき，N は(d-1)q +1 で上から抑えられるであろうか？(b) 射影空間内の超曲面について，Sziklai bound 類似の，次数について線形でtightな bound を見出したい」という目標を掲げた．
これら，２つの方向について，今の時点では一応満足すべき結果：(A) n次元射影空 (n >2)の次数dの曲線のF-有理点についは，(d-1)q +1 で上から抑えられる; (B) n次元射影空間 (n>2)の次数dの既約超曲面のF-有理点の個数は，dについては一次，qについてはn-1次であるような具体的な式(入力システムの都合でここに具体的に書き下すことはできない)で抑えられる，という結果を得た．

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

研究実績の概要の項に述べたように，2012年度の目標とした事柄について，一応の決着を見，さらにそれらに関連した問題が新たに浮上してきたことによる．

今後の研究の推進方策

上記(A),(B)　の成果の下に(A)については，tightなboundを見出すこと，(B)については等号をとる場合の考察を推進する．
2013年度においても，12年度と同様，海外の関連研究者との討論，共同研究が研究進展の鍵をにぎる．以下の3回にわたる海外出張を計画している: (1) 2013年6月2日から9日まで，Centre International de Rencontres Mathematiques, Luminy, Marseille, France「Arithmetic, Geometry, Cryptography and Coding Theory」 (2) 2013年7月21日から28日まで，the Otto-von-Guericke University, Magdeburg， Germany 「The 11th International Conference on Finite Fields and their Ap,plications 」 (3) 9月上旬, Minnesota State University, Mankato, USA.

次年度の研究費の使用計画

12年度の夏にブラジルを訪問し，Voloch教授及びBorges教授と討論し研究の進展に資する予定であったが，研究代表者の私的な事情により果たせなかった．2013年度中に上記の海外出張とは別に，Borges教授をサンパウロに訪問することを計画する．Voloch教授には上記Magdeburg出張の際会うことができる予定である．

研究成果

• [雑誌論文] Nonsingular plane filling curves of minimum degree over a finite field and their automorphism groups: supplements to a work of Tallini (2013)
  • 著者名/発表者名: M. Homma, S. J. Kim
  • 雑誌名: Linear Algebra Appl. 巻: 438 ページ: 969-985
  • DOI: 10.1016/j.laa.2012.08.032
  • 査読あり
• [雑誌論文] Rational curves with many rational points over a finite field (2012)
  • 著者名/発表者名: S. Fukasawa, M. Homma, S. J. Kim
  • 雑誌名: Contemp. Math. 巻: 574 ページ: 37-48
  • DOI: 10.1090/conm/574/11420
  • 査読あり
• [雑誌論文] A bound on the number of points of a curve in a projective space over a finite field (2012)
  • 著者名/発表者名: M. Homma
  • 雑誌名: Contemp. Math 巻: 579 ページ: 103-110
  • DOI: 10.1090/conm/579/11523
  • 査読あり
• [学会発表] An elementary bound for the number of points of a hypersurface over a finite field (2012)
  • 著者名/発表者名: M. Homma
  • 学会等名: Combinatorics2012
  • 発表場所: Centro Congressi Hotel Gio;, Perugia, Italy
  • 年月日: 20120905-20120915