| 研究課題/領域番号 |
24540072
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 金沢大学 |
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研究代表者 |
加須栄 篤 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40152657)
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| 研究分担者 |
服部 多恵 石川工業高等専門学校, その他部局等, 講師 (40569365)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | p－調和関数 / p－ディリクレ和有限関数 / 倉持コンパクト化 / 測地的コンパクト化 |
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| 研究概要 |
非再帰的ネットワークの倉持コンパクト化を考える。Ancona-Lyons-Peres(1999)によると、 ディリクレエネルギー有限な関数はそのランダムウォークに沿って概収束 かつL2収束する。本研究では、ランダムウォークは倉持境界の調和境界に値を持つ確率変数に概収束し、ディリクレエネルギー有限な関数はランダムウォークに沿って調和境界上のL2関数に概収束かつL2収束することを示した。この結果が示すように倉持コンパクト化は重要なコンパクト化である。しかしたとえばアダマール多様体の測地的レイによる幾何的コンパクト化との関係を見つけるのは２次元以外では難しい。
本研究では、ネットワークのエネルギーとして指数pのディリクレエネルギーを考え,これに関するp－倉持コンパクトを考察する。これは距離付可能なコンパクト化であり、うまく距離を選ぶと、グラフ距離を持つグラフからそのp－倉持コンパクト化への恒等写像はp－エネルギー有限であることを示した。これはこの距離に関するリプシッツ関数は全てp－エネルギー有限関数であることを意味し、倉持コンパクト化の幾何学手法によるアプローチを可能にすると思われる。とくにアダマール多様体あるいはそのネットからp－倉持コンパクト化の場合にも当てはまる。本研究では、p－倉持コンパクト化を与える関数族、すなわち有界な集合の外においてp－エネルギー最小な関数―とくに有界集合の外でp－調和となっている―からなる族は、実はp－ディリクレ空間において稠密であることを明らかにした。この意味でp－倉持コンパクト化は、p－ディリクレ空間を表現する最適なコンパクト化であると考える。 アダマール多様体の幾何的コンパクト化の境界付近での、有界な集合の外においてp－エネルギー最小な関数の測地線に沿った挙動に注目している。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非再帰的ネットワークの倉持コンパクト化の場合、ランダムウォークは倉持境界の調和境界に値を持つ確率変数に概収束し、ディリクレエネルギー有限な関数はランダムウォークに沿って調和境界上のL2関数に概収束かつL2収束することを示した。この結果から、双曲平面をモデルにした空間の測地的レイによる幾何的コンパクト化と倉持コンパクト化との関係を見つけることができる。
高次元の場合の研究のため、ネットワークのエネルギーとして指数pのディリクレエネルギーを考え, これに関するp－倉持コンパクトを考察した。グラフ距離を持つグラフからそのp－倉持コンパクト化への恒等写像はp－エネルギー有限であり、したがってこの距離に関するリプシッツ関数は全てp－エネルギー有限関数であることを意味し、倉持コンパクト化の幾何学手法によるアプローチを可能にしたとは思われる。とくにアダマール多様体あるいはそのネットからp－倉持コンパクト化の場合にも当てはまる。一方p－倉持コンパクト化を与える関数族、すなわち有界な集合の外においてp－エネルギー最小な関数―とくに有界集合の外でp－調和となっている―からなる族は、実はp－ディリクレ空間で稠密であることを明らかにした。このことから研究の対象を有界な集合の外においてp－エネルギー最小な関数に絞ることができたことになる。
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| 今後の研究の推進方策 |
p－倉持コンパクト化を与える関数族、すなわち有界な集合の外においてp－エネルギー最小な関数―とくに有界集合の外でp－調和となっている関数―からなる族は、実はp－ディリクレ空間で稠密であることを明らかにした。この意味でp－倉持コンパクト化は、p－ディリクレ空間を表現する最適なコンパクト化であると考え、従って測地的コンパクト化を考える際にも、この関数に注目することになる。現時点ではp－エネルギ―に係わるラプラシアンは非線形であるため、境界挙動を見る際に用いる自然な測度は何かが問題となる。この点について、ユークリッド空間の有界領域でのp－ラプラシアンの最近の研究が参考になる。境界挙動を捉えるための J.Lewis等による研究に着目している。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
図書費を含む設備品費として 100,000円、 PC関係周辺機器を含む消耗品費として 200,000, 研究打ち合わせおよび研究発表のための旅費として 680,000円, 資料整理・情報収集に対する謝金として20,000円
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