| 研究課題/領域番号 |
24540075
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 名古屋工業大学 |
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研究代表者 |
足立 俊明 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (60191855)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | ケーラー磁場 / 理想境界 / 円 / 佐々木磁場 / 軌道の外的形状 / 葉層構造 / 構造捩率 |
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| 研究概要 |
負曲率ケーラー多様体上では、断面曲率の上限を c としたとき磁力の平方が |c| 以下のケーラー磁場に対して、任意の異なる２点はその軌道で結ぶことができるというホップ・リノウ型の性質が成り立つことがわかっていた。今回、軌道ハープが定義するヤコビ場に対してラウチの比較定理をうまく適用することにより、1) 磁力の平方が |c| 以下であれば、磁性指数写像により各点の単位接空間と理想境界とは１対１に対応する。すなわち各点と理想境界の各点とを結ぶ軌道がただ１つ存在する．2) 磁力の平方が |c| 未満であれば、理想境界上の異なる２点を結ぶ軌道が存在する．という負曲率多様体上の測地線の性質に対応する結果を得た。
一方、ケーラー多様体上の曲線とその超曲面における概接触構造から誘導される佐々木磁場の軌道との関係を考察するために、まず複素射影空間とその中の測地球面とを基に考察を行った。複素射影空間において円はフレネ・セレーの公式の観点から測地線に次ぐ性質を持っており、通常は測地曲率と複素捩率とにより分類される。しかし、このパラメータによるモジュライ空間上で長さ関数を考えると、その連続性や微分可能性の観点からは特異点を持つ葉相構造が導かれる。特異点は全てケーラー磁場による軌道の葉にあることから、ケーラー磁場による軌道以外の円は異なる性格を持つものと研究者は考えて考察した。これらの円はある測地球面における適当な磁力の佐々木磁場による軌道の外的形状になっていて、３つの軌道が１つの円に対応していることがわかった。更に、外的形状が円になる軌道のモジュライ空間を磁力と構造捩率というパラメータで表現したときに、長さの観点から構成された葉層構造は特異点を持たないことがわかった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
磁性単体に関連した測地球面上の佐々木磁場と周囲空間における曲線の様子に関して、どのように考察を進めれば良いか余り手がかりがなかった部分であるが、複素射影空間の円を軌道の外的形状として完全に説明でき、この見方をすると長さ関数に関して特異点を持たない葉層構造が得られるという大きな前進をみることができた。この性質は、複素双曲空間においても有界な円に関しては同じ性質が成り立つはずであり、ホロ球面ではホロ球面における軌道を、また非有界な円では複素超曲面を芯とするチューブ上の軌道を考察すれば良いと考えられ、磁性単体とホロ球面における軌道との関連を考察する上での大きな突破口が得られたと考えている。また、ケーラー磁場の軌道の漸近挙動に関して、こちらも当初予想していた結論を導く事に成功し、理想境界との関連性を考察するのに十分な手がかりを得ることができた。
これらの結果については、招待を受けた「部分多様体の微分幾何学および関連分野」国際研究集会(佐賀)、「微分幾何学とその関連分野における国際会議2012」(ベリコ・タルナボ)、および日本数学会をはじめとするいくつかの研究集会などの機会で口頭公表を行った。また、考察の一部を日本数学会誌に論文発表を行った。
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| 今後の研究の推進方策 |
佐々木磁場による軌道と周囲空間における曲線との関係に関して。次年度では、今年度に複素射影空間において考察したことをより複雑な複素双曲空間において考察することにする。複素双曲空間の円は測地球面、ホロ球面および複素超曲面を芯とするチューブ上の佐々木磁場による軌道の外的形状として得られると予想されるので、今年度開発した手法を応用してみるつもりである。ただ、複素双曲空間においては有界な円と非有界な円とがあるため様子はより複雑になっているはずである。Ａ型とよばれる部分多様体の種類の豊富さに着目したい。また長さ関数に関する葉層構造についても考察できればと考えている。
更に、同様の結果が３次・４次の本質キリング螺旋についても成立するであろうと予想している。こちらの方はかなりの困難性が十分予期されるので完全な解決までは予定してはいないが、円に関する考察の正当性を明確にする上で部分的な考察でも考えてみる必要性は感じている。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
今年度の考察で得られた結果および次年度の考察課程を、いずれも招待講演を依頼されている国際研究集会「位相幾何学と微分幾何学2013」(松江市) およびフィリピン数学研究集会(タガイタイ市)、また東北大学原子分子材料科学高等研究機構で開催される研究集会をはじめその他の国内研究集会において口頭発表し、参加メンバーとの意見交換を行う予定である。更に、複素射影空間内の部分多様体論の専門家である連携研究者 前田定廣教授や佐々木磁場に関する共同研究者である包図雅講師と、研究集会の折や電子メールを通して積極的に研究連絡を行う予定である。
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