| 研究課題/領域番号 |
24540075
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| 研究機関 | 名古屋工業大学 |
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研究代表者 |
足立 俊明 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (60191855)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | ケーラー磁場 / 軌道ハープ / ハープ・セクター / 無限遠点 / 理想境界 / 極小超曲面 |
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| 研究実績の概要 |
ケーラー磁場による軌道とその軌道の各点を結ぶ測地線族により構成される軌道ハープの性質を複素空間形における軌道ハープと比較することで考察した。
性質を考察するために、軌道ハープを構成する軌道の１部である軌道線分と軌道線分上の各点を結ぶ測地線分が作るハープ・セクターを考える。軌道線分の両端と軌道の始点とを結ぶ外側の測地線分である２つのセクターの弦の長さを決め、一般のケーラー多様体内のセクターと複素空間形のセクターとの比較を行った。ケーラー多様体の断面曲率が c 以下であれば、その多様体上のセクターの頂角(２つの弦のなす角)、セクターの幅と軌道線分の長さは、正則断面曲率 c の複素空間形上のセクターの対応するものよりも大きくないことがわかった。この結果、アダマール・ケーラー多様体において磁力の平方が断面曲率の上限の絶対値より小さい場合、軌道半線と測地線が同じ始点と同じ無限遠点を持つ場合に、両者の距離を評価することができた。
また、ケーラー多様体の曲線族と超曲面との関連を調べる一貫として、複素空間形内の極小超曲面について考察した。極小超曲面は複素空間形の円に対応して分類されることがわかった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究計画を立てた時点で結果は予想されていたことではあるが、明確な証明を付けるのには予想外に手間がかかった。磁性指数写像とアダマール・ケーラー多様体の理想境界との関係がハープ・セクターを通して明確になったので、軌道を利用した理想境界の考察はかなり進展したと考えることができる。まだ、２つの軌道の無限遠点の関係が明らかになってはいないこと、また１つの軌道を基にした測地球面の漸近的挙動に関する考察のかなりの部分が残されている、最終年度に向けた考察の準備が整っていると考えることができる。
なお、これらの結果については、２つの国際研究集会「第４回微分幾何とその関連分野における国際会議」(ベリコタルノボ・ブルガリア)、「純粋数学と応用数学における最近の進展に関する国際研究集会2014」(アンタルヤ・トルコ)、および日本数学会において口頭発表を行った。また、一部の結果については学術雑誌に投稿した。
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| 今後の研究の推進方策 |
アダマール・ケーラー多様体における軌道の様子を更に考察するために、今年度は 1) ２つの軌道間の距離をヤコビ場の比較定理を利用することで考察する 2) 軌道球の体積の考察を軌道ハープの比較定理を用いて考察する。可能であれば漸近的な手法によりホロ球についても考察する 3) 軌道ハープの比較定理を更に整備するために、曲面の場合に限定して考察を行う、という３点を計画している。
また、今年度は研究計画の最終年度であるため、これまでの研究成果のまとめを行う。この過程で研究協力者である包図雅女史(中国・内モンゴル民族大学)と佐々木磁場の軌道について、夏期休業中に中国国内または共通に参加する国際研究集会(未定)の場で研究打ち合わせを行う。また公表の機会として日本数学会等国内の研究集会で口頭発表を行う予定で、併せて得られた結果について学術雑誌に論文投稿を行う。
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