| 研究課題/領域番号 |
24540080
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| 研究機関 | 茨城大学 |
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研究代表者 |
木村 真琴 茨城大学, 理学部, 教授 (30186332)
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| 研究分担者 |
大塚 富美子 茨城大学, 理学部, 准教授 (90194208)
入江 博 茨城大学, 理学部, 准教授 (30385489)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | ホップ超曲面 / 四元数ケーラー構造 / ガウス写像 / 複素双曲空間 / 外的測地線 / 全複素部分多様体 |
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| 研究実績の概要 |
複素双曲空間内の実超曲面について、複素ミンコフスキー空間内の不定値2次元部分空間の成す、複素グラスマン多様体への「ガウス写像」を考察することにより、複素双曲空間内のホップ超曲面の特徴付けを与えた。複素双曲空間内のホップ超曲面については、そのホップ主曲率の絶対値が大きい場合には、複素射影空間内のCecil-Ryanによる著名な結果と同様に、複素部分多様体上の半径一定のチューブとなることが（対応する focal mapの階数が一定という条件の元で）Montiel によって示されていた。一方で、そのホップ主曲率の絶対値が小さい場合には数年前にIveyが微分式系の理論により、その構造定理を示した。しかしながら、両者の関係は明確ではなく、その中間の場合の構造もわかっていない。本研究では上記のガウス写像を用いて、複素双曲空間内のホップ超曲面の構造を統一的に把握することができた。それらは、そのホップ主曲率の絶対値によって大きく３つの場合に分けられるが、パラ四元数ケーラー構造を用いて、「ケーラー構造」、「パラケーラー構造」と「べき零的構造」と対応することが分かった。その結果は、Topology and its application 誌に掲載されたのとともに、ブルガリアのVarna および首都大学東京で開催された国際研究集会で講演した。また、複素射影空間内の測地的超球面で、その半径がある値以上であるものを、実超曲面の各点を通る「外的測地線」によって特徴づけた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
複素射影空間および複素双曲空間内の実超曲面の、複素グラスマン多様体へのガウス写像を用いた考察は、特にホップ超曲面の構造の統一的な理解に重要な役割を果たすものであり、学術論文を発表するのと共に、様々は国際研究集会で発表してきた。
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| 今後の研究の推進方策 |
複素2－平面の作る複素グラスマン多様体内の半分次元の全複素部分多様体から、ツイスター空間への標準的リフトを用いて、複素射影空間のホップ超曲面を構成するのとともに、不定値複素グラスマン多様体の「パラ四元数ケーラー構造」を用いて、複素双曲空間内のホップ超曲面の構成を目指す。
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