| 研究課題/領域番号 |
24540080
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| 研究機関 | 茨城大学 |
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研究代表者 |
木村 真琴 茨城大学, 理学部, 教授 (30186332)
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| 研究分担者 |
大塚 富美子 茨城大学, 理学部, 准教授 (90194208)
入江 博 茨城大学, 理学部, 准教授 (30385489)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | ツイスター空間 / 四元数ケーラー構造 / 複素グラスマン多様体 / 複素射影空間 / 複素双曲空間 / ホップ超曲面 / ガウス写像 / ルジャンドル部分多様体 |
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| 研究実績の概要 |
複素射影空間内のホップ超曲面については、focal 写像の階数に関する付帯条件の下でその構造定理が知られていたが、本研究では一般の実超曲面から(複素2次元の部分空間が作る)複素グラスマン多様体へのガウス写像を考察することにより、ケーラー多様体上の円束の全空間となっていることが示せた。逆に、複素2平面のなす複素グラスマン多様体のツイスター空間内の、(正則)ルジャンドル部分多様体に対して、その上の円束を複素射影空間内の(特異点をもつかもしれないが)ホップ超曲面として実現できることがわかった。このとき、複素2平面のなす複素グラスマン多様体のツイスター空間と、複素射影空間の(向きつけられた)測地線(あるいは、測地的同心円)の空間が自然に同一視できることが本質的に重要である。複素双曲空間のホップ超曲面については、複素双曲空間の正則断面曲率を４とするときに、ホップ超曲面の構造ベクトル場の(一定な)主曲率の絶対値が2を境にして3通りに分かれる。2より大きい場合は、複素射影空間の場合と同様な構造定理が知られていたが、2未満の時には数年前に全く異なる構造定理が得られている。本研究では、複素双曲空間内の実超曲面に対して、複素ミンコフスキー空間内の不定値2平面のなす複素グラスマン多様体へのガウス写像を考察することにより、そのパラ四元数構造を用いてホップ超曲面の統一的な構造定理を得ることができた。この場合も、複素双曲空間内の全測地的複素双曲直線における「測地線」「ホロサイクル」「測地円」全体の空間と、対応する複素グラスマン多様体の「パラ四元数構造に関する」ツイスター空間が重要な役割を果たしている。
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