| 研究課題/領域番号 |
24540082
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
松本 堯生 京都大学, 数理解析研究所, 長期研究員 (50025467)
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| 研究分担者 |
鎌田 聖一 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (60254380)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | ２次元結び目 / ２次元ブレイド / チャート図の変形 / マルコフ型定理 / ４次元トポロジー / 不変量 / ケーリー図 / 数学史 |
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| 研究概要 |
２次元滑らか結び目解け予想は１助変数の方法で初等的に解けるのではないかと考えて始めたのが1999年の論文であり、４次元空間内の向き付け可能な曲面を２次元ブレイド、さらにチャートという平面内グラフによって表現する方法が研究分担者鎌田聖一氏によって開発されていた。知られている反例は向き付け不可能な曲面に対するものしかないので２次元ブレイドを使用する限りこの反例について考慮する必要がないのも利点である。
与えられた結び目と自明な結び目との間に交点を許した２次元結び目の１助変数族を構成することは簡単にでき、補空間の基本群の可換性から交点の生成・消滅がカスプによってのみ起こるようにできる。この１助変数族を２次元ブレイドの１助変数族に変換することはマルコフ型定理であって、研究分担者鎌田聖一氏の2002年にAMSから出た本の手法を交点がある場合に拡張すればよく、論文を準備中である。交点は動かないとしてマルコフ型定理を適用するので、最後のカスプに対応するチャートでの変形つまりノードと端点の融合は別途強制的に行う。このことによって、交点が２個以上ある場合に、２重点の逆像が２次元球面と区間の直積の中で絡まることは自然に避けられる。交点数を減らす部分までを定理とした報告を数理解析研究所講究録に発表しており、最終段階で扱うべき対象は交点数１の単純ブレイドの１助変数族に限られる。
平成２４年度の計画は、ここまでの部分の証明を詳しく書いた論文を書き上げて発表する予定であったが、最終段階での考察に進展があり、そちらに力を注いだこともあり、論文執筆は次年度にずれ込むこととなった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成２４年度の計画では論文を前半と後半に分け前半だけでも独立して意味がある部分を執筆する予定であったが、後半部分の進展もあり論文執筆はこれからとなった。概略は既に数理解析研究所講究録に英文で発表しており、全体としては順調と考えてよいと思う。
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| 今後の研究の推進方策 |
２次元滑らか結び目解け予想を、マルコフ型定理の証明を含め交点数１の1助変数族で自明な結び目につながる場合に帰着する部分の論文執筆を行うとともに、帰着された場合の予想を語の変形問題として樹木型をしたケーリー図を活用して解決する。
また、その発展のひとつとして数学史を含む数学の研究全般にかかわる研究を並行して進める。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
まずは、パソコンの更新等の物品費使用を１年遅れで実施する。また、研究分担者をひとり増やす予定がありそのための費用が必要である。
旅費及び人件費・謝金等については基金制度を活用し、研究分担者等と密な連絡と研究発表のために２７年度までの全期間での最も効率的な使用を考える。
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