| 研究課題/領域番号 |
24540082
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
松本 堯生 京都大学, 数理解析研究所, 特任教授 (50025467)
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| 研究分担者 |
鎌田 聖一 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (60254380)
作間 誠 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30178602)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 2次元結び目 / 2次元ブレイド / チャート図の変形 / マルコフ型定理 / 4次元トポロジー / 不変量 / ファンカンペン図 / 数学史 |
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| 研究実績の概要 |
２次元滑らか結び目解け予想は１助変数族の方法で初等的に解けるのではないかと考えて始めたのが1999年の論文であり、４次元空間内の向き付け可能な曲面を２次元ブレイド、さらにチャートという平面内グラフによって表現する方法が研究分担者鎌田聖一氏によって開発されていた。知られている反例は向き付け不可能な曲面しかないので２次元ブレイドを使用する限り、この反例を考慮する必要がない。
与えられた結び目と自明な結び目との間に交点を許した２次元結び目の１助変数族を構成することは簡単にでき、補空間の基本群が可換であることから交点の生成・消滅がカスプによってのみ起こるようにできる。この種の１助変数族を２次元ブレイドの１助変数族に変換することはマルコフ型定理があれば可能であって、交点を持つ２次元結び目のマルコフ型定理に関する論文を研究分担者鎌田聖一氏とともに執筆できたことが今年度最大の成果である。交点は動かないとしてマルコフ型定理を適用できるので、最後のカスプに対応するチャートでの変形つまりノードと端点の融合は別途強制的に行ってよい。このことによって交点が２個以上ある場合に２重点の逆像が２次元球面と区間の直積の中で絡まることは自然に避けられる。交点数を１に減らす部分までを数理解析研究所講究録に発表しており、最終段階で扱うべき対象は交点数１の単純ブレイドの１助変数族に限られる。
数理解析研究所講究録に書いた内容を詳細な論文にすれば、研究目的の最低限の目標は達成されると考えているが、今年度はその前半のマルコフ型定理の証明を書いた論文を投稿中である。さらに最終段階の扱いについても多くのやり方を検討し状況をつかみつつあると考えている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
２次元滑らか結び目解け予想をチャート図の変形問題に帰着して解決する予定であるが、前半の前半がやっと論文にできた段階である。ただし、最終段階の解析も遅れてはいるが、状況が明らかになりつつあると考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
チャートという平面グラフの方法をより詳しく研究することによって解決を図るとともに、最終結果に到達しない場合でも今年度書き上げたマルコフ型定理を用いて1助変数の場合に帰着する部分を論文に仕上げて発表する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
２次元滑らか結び目解け予想に関する解析結果の取りまとめの段階で、交点数１の単純ブレイドの1助変数族の限定に関して遅延が生じている。また、遠方で開催される学会や研究会に長期に出かけることが身体上及び家庭上の理由で難しくなることが重なったため、研究発表なども遅れている。
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| 次年度使用額の使用計画 |
チャートの変形をより詳しく研究するために必要な物品・謝金、調査や研究発表に必要な旅費などに使用する。
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