| 研究課題/領域番号 |
24540091
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| 研究機関 | 大阪府立大学 |
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研究代表者 |
山口 睦 大阪府立大学, 高等教育推進機構, 教授 (80182426)
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| 研究分担者 |
入江 幸右衛門 大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (40151691)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 群対象の表現論 / ファイバー圏 / 双対スティーンロッド代数 |
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| 研究実績の概要 |
昨年度に引き続き，位相群関手の表現論を定式化するために，ファイバー圏に関する基礎的研究に取り組み，以下の成果が得て，群対象の表現論についての基礎的な枠組みの主要な部分の構築を終えた．
・直積の概念をファイバー圏に拡張した"fibered category with products"の概念と，写像空間の概念をファイバー圏に拡張した"fibered category with exponents"の概念を定義して，これらのファイバー圏の基本的な性質を調べ，群対象の表現論を展開するために必要な基礎理論を構築した．
・"fibered category with products"における群対象の表現について考察し，このファイバー圏においては左正則表現が構成され，さらに底カテゴリーの終対象のファイバーがcoequalizerをもつ圏であるという仮定の下で，左誘導表現の構成法を与えた．また，"fibered category with exponents"における群対象の表現について考察し，このファイバー圏においては右正則表現が構成され，さらに底カテゴリーの終対象のファイバーがequalizerをもつ圏であるという仮定の下で，右誘導表現の構成法を与えた．
・次数付き位相環の圏から位相空間への圏への関手全体のなす圏をTとすれば，Tの各対象Fに対してF-modelの圏から位相的加群への関手としてF-加群の概念が定義される．Tの各対象Fの上にF-加群全体のなす圏が「乗っている」圏として，T上のファイバー圏 p:MOD→T が定義されるが，その圏が"fibered category with products"かつ"fibered category with exponents"である"cartesian closed fibered category"と呼ばれるファイバー圏であることを示した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本研究ではファイバー圏を表現論を行う場として活用するであるファイバー圏の基礎的な理論について，検証すべき必要な事実が多数存在し，それらの検証や証明に膨大な計算や推論を重ねたため，当初予想していた以上に時間と労力を要した．
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| 今後の研究の推進方策 |
１．研究実績の概要で述べたファイバー圏 p:MOD→T を考え，次数付き位相環で表現可能な関手全体からなるTの部分圏Sにファイバー圏 p:MOD→Tを制限したものを p':MOD'→Sとし，さらに準連接加群からなる MOD'の充満部分圏 QMOD に制限したファイバー圏 q:QMOD→S をとしたとき，このファイバー圏も"cartesian closed fibered category"であるかどうかについて調べる．もしそうでなければ，Sの適切な部分圏 S で，S'上に q:QMOD→S を制限すれば"cartesian closed fibered category"になるものを見出す．
２．G が位相環で表現可能なアファイン群スキーム，H が G の部分群スキームで f:H→G が包含射，M が準連接加群の場合に H の M 上の表現から G の誘導表現を得るプロセスを，G と H を表現する位相ホップ代数と M の情報を用いて記述することを試みる．
３． G を表現する位相ホップ代数 A に，G の「非安定表現」を定義するフィルトレイションが定義されているとき，H を表現する位相ホップ代数にも G のフィルトレイションに対応するフィルトレイションが定まり，H の非安定表現が定義できる．このとき H の非安定表現から誘導される G の表現を調べ，H の非安定表現から誘導される G の非安定表現について考察する．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初は夏期休暇中に他の研究者との研究連絡のため，他大学を訪問することを計画していたが，昨年度と同様，演習書の執筆等の用務で多忙であったため，旅費による予算の執行が困難であった．
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| 次年度使用額の使用計画 |
研究のための情報収集や，研究成果の講演のため他大学を訪れたり，研究に必要な物品の購入によって，残りの予算を執行する計画である．
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| 備考 |
本研究の研究ノートのPDFファイルは上記(1)のURLのページのリンク
http://www.las.osakafu-u.ac.jp/~yamaguti/archives/rsg_main.pdf
からダウンロードできます．
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