| 研究課題/領域番号 |
24540106
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
坂井 哲 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (50506996)
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| キーワード | 臨界現象 / φ4乗モデル / イジング模型（オランダ，台湾） / 1-arm指数（オランダ） / レース展開（台湾） |
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| 研究概要 |
スピン系数理モデルの臨界現象を「確率幾何学的な解析」によって厳密に理解すべく，以下の三つの課題に取り組む．（１）冪的に減衰する長距離２体相互作用係数で定義されたイジング模型を考え，その冪指数（次元＋α）に依存して，高次元における臨界２点関数が漸近的にリース核（α＜２の場合）やニュートン核（α＞２の場合）になったり，それに対数補正がつく（α＝２の場合）という予想の解決．（２）φ４乗モデルに対するレース展開の手法を確立し，繰り込み群による従来の結果を凌駕する精密な結果を導出．（３）「＋境界条件」が課された半径ｒの球の中心に位置するイジングスピンの期待値が，ｒの冪（この冪指数を１‐arm指数と呼び，４次元より高次元では１に退化すると予想）で減衰するという予想の解決．
平成２５年度のそれぞれの課題に対する実績は次の通り．（１）８月に共同研究者のChen教授が訪日，１１月に坂井が訪台，３月にライデン（オランダ）で再会し，研究打ち合わせを行なった．α≠２の場合は完全解決し，論文がAnnals of Probabilityに受理されている．α＝２の場合は未だ課題があり，その解決の為に意見交換を継続していくことを確認した．（２）６月にバンガロール（インド）で開かれた研究集会と，１月にテ・アナウ（ニュージーランド）で開かれた研究集会で途中経過を報告した．論文が最近完成，某ジャーナルとarXivに投稿した．（３）８月に共同研究者のHeydenreich教授が訪日，３月に坂井が訪蘭し，研究打ち合わせを行なった．問題の核心を最近発見し，その解決の為に意見交換を継続していくことを確認した．
以上の研究課題以外の活動として，採択期間中に行なう計画だった国際研究集会を札幌で開催（海外講演者１３人，国内講演者１０人，参加者合計４０人弱）した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究課題（１） すでにα≠２の場合は完全解決し，論文がAnnals of Probabilityに受理されたことで，目標の最低ラインは達成されている．残るα＝２の場合も傍証が集まりつつあり，研究は順調に進んでいる．
研究課題（２） 論文が完成，某ジャーナルとarXivに投稿したことで，この課題はほぼ達成された．
研究課題（３） 問題の難易度が高く，共同研究者のHeydenreich教授と地理的に離れていることも影響して，進展が遅い．３月にライデン（オランダ）を訪れた際，1-arm指数の上限についてだけでも期間中に纏める方向で合意した．
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| 今後の研究の推進方策 |
研究課題（１） 授業の少ない２学期に坂井が訪台し，残るα＝２の場合の解決を目指す．採択期間中に終わらなかった場合でも，共同研究は継続する意向．
研究課題（２） 坂井が論文を投稿して間もなく，カナダの研究グループから課題（２）と関連する問題を全く違うアプローチで解決する方法が提示された．来年度（平成２６年度）９月に長期滞在の招待を受けているので，今後の研究の方向性を探るべく，訪問して研究打ち合わせをする．
研究課題（３） 授業の少ない２学期に坂井が訪蘭し，最近発見した「（境界条件に伴う）問題の核心」をどう取り扱うかについて研究打ち合わせをする．採択期間中に片側不等式だけでも完成させたいが，終わらなかった場合でも，共同研究は継続する意向．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
2万円強では旅費にも備品購入にも使えなかった為，平成26年度の研究費の足しに使うことを決定．
自身3回の海外出張（カナダのブリティッシュ・コロンビア大学へ9月の1ヶ月間，台湾の国立政治大学へ11月の10日間，フランスのアンリ・ポアンカレ研究所へ2月の10日間）と，学生2名の海外出張（共にブリティッシュ・コロンビア大学へ6月の1ヶ月間）があり，その出費の足しに平成25年度の未使用額を使う予定．
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