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１次元２状態の基本的な量子ウォークに関しては、既に多くの知見が得られているので、そのモデルを拡張した量子ウォークについて、その極限定理、再帰性などの色々な性質について研究を行った。特に、量子ウォークの時間ごとに、周期的、或いは非周期的に異なる場合、同様に、場所ごとに、周期的、或いは非周期的に異なる場合の極限定理を得ることは、ランダムな環境の下での量子ウォークの研究につながり、アンダーソン局在とも深く関係し、大変重要な課題である。最終年度の本年度は、１次元系の２状態量子ウォークの量子コインが空間的に異なる場合について、特に深く研究を行った。具体的には、半直線上での場合に、系全体を決めるユニタリ行列をCMV行列と関係をつけたCGMV法を用い、量子ウォークの漸近的挙動などについて研究を行った。また、１次元系のアダマールウォークの原点だけ異なる量子コインを用いた幾つかのモデルに関して、その定常測度、時間平均極限測度などを種々の方法で求めた。特に、Wojcik modelについては、興味深い結果を得ることが可能となった。２つのツリーを接合した１次元系的なモデルの上での挙動を直交多項式の結果を用いて解析を行った。結晶格子上のグローヴァーウォークのスペクトルと漸近挙動に関しても幾つかの結果を得た。また、空間的に一様な２状態１次元系に関しても、実はその定常測度の性質が知られていないことに気がついた。そこで、対応する無限次元の固有方程式を解くことにより、一様測度が定常測度になりうることを示した。また、後にそれだけを示すならば、固有方程式を経由せずに簡単に示す証明も得られた。さらに、その研究の発展として、一様測度でない定常測度も具体的な形として発見することが出来た。グラフ上の量子ウォークとゼータ関数との関係は、今後の重要な課題の一つとして、種々の側面から引き続き研究を進めたい。
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