超準モデルについて:T を PA の再帰的な拡張とし,Con(T+Con(T)) を Con^2(T) と書く.M が T の超準モデルであるとき Th(M) を M における T の定理の集合とし,X = {Th(M) : M は T+ Con(T) のモデル} とする.このとき,以下の三つが成り立つことを示した.(1) X は部分集合に関する極大元を持つ.(2) M が X の極大元ならば M は Con^2(T) のモデルである.(3) M が X の極大元でないような T + Con^2(T) のモデル M が存在する.これは倉橋太志氏との共同研究である. 不完全性定理について:T を PA の拡張とする.第一不完全性定理,Rosser の定理,第二不完全性定理はそれぞれ以下のような定理である.(1) T が Σ_1 定義可能で無矛盾なら Π_1 完全でない.(2) T が Σ_1 定義可能で Σ_0 健全なら不完全である.(3) T が Σ_1 定義可能で無矛盾な理論なら T の無矛盾性は T では証明できない.さて,無矛盾性は Σ_0 健全性と同値である.この三つの定理は次の形に一般化できることを示した.(1) T が Σ_n 定義可能で無矛盾なら Π_n 完全でない.(2) T が Σ_n 定義可能で Σ_{n-1} 健全なら T は不完全である.(3) T が Σ_n 定義可能で Σ_{n-1} 健全ならば T の Σ_{n-1} 健全は T では証明できない.これは倉橋太志氏との共同研究である. 哲学的な話題について:完全性定理の哲学的意義や証明概念の形式化,ヒルベルトのプログラムに関わる問題を明らかにした.
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