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2013 年度 実施状況報告書

線形符号の誤り訂正限界に関する幾何学的研究

研究課題

研究課題/領域番号 24540138
研究機関大阪府立大学

研究代表者

丸田 辰哉  大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80239152)

キーワード線形符号 / 誤り訂正 / 最適符号 / 符号の拡張 / Griesmer 限界 / 有限射影幾何
研究概要

q 元体上の長さ n, 次元 k, 最小距離 d の線形符号([n,k,d]q 符号)が存在する限界(具体的には n の最小値 n_q(k,d) や d の最大値 d_q(n,k))を決定する問題は、符号理論において最も基本的な研究課題の一つであるが、q と k が小さい値の場合でも多くの未解決問題が存在し、活発に研究されている。
本年度は、まず昨年度に引き続いて q=4 の場合に取り組み、4元線形符号に関連して現れる射影空間 PG(r,4) の奇集合の分類を応用して、d=1 (mod 4) のときの3重拡張可能性などに関する新たな拡張定理を得た。この結果は、n_4(5,d) の決定問題に関する研究に寄与することが期待される。また、n_5(5,d) の決定問題にも取り組み、Projective Dual や Geometric Puncturing といった幾何学的な手法を駆使して、新しい最適線形符号を構成することができた。これらの成果は、ブルガリアで開催された国際会議 OC2013 や国内の研究集会等で発表した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

具体的な q と k の値に対して [n,k,d]_q 符号が存在する n の最小値を全ての d について決定する問題において、多くの成果を上げることができた。特に、Belov タイプの Griesmer 符号の構成方法を一般化した Geometric Puncturing の手法を提案し、最適な線形符号を構成する上で有効であることを具体的に示すことができた。また、線形符号の拡張可能性についても新たな知見が得られた。

今後の研究の推進方策

まず、新しく構成できた最適な5元線形符号について、その幾何学的な構造を分析し、最適な q 元線形符号の構成に一般化できないか考察したい。これは、Belov タイプではない最適線形符号の構成という極めて難しい問題を解決する端緒となる可能性を秘めている。新しい最適線形符号のコンピュータを用いた探索に関しては、ブルガリア科学アカデミーの Bouyukliev 教授に協力を仰ぐ予定である。また、Griesmer 符号の非存在を証明する上で重要な線形符号の拡張可能性に関する幾何学的な研究にも引き続き取り組みたい。できれば、n=4, k=5 の未解決問題にも挑戦したい。
未解決問題を含む低次元の nq(k,d) 表は website で公開しており、随時更新する予定である。

次年度の研究費の使用計画

物品費で購入する予定だったものを他の予算で購入することができたため。
次年度に繰り越す研究費は、Algebraic and Combinatorial Coding Theory に関する国際会議 ACCT 2014 に参加するための旅費等に充てたい。

  • 研究成果

    (14件)

すべて 2013 その他

すべて 雑誌論文 (6件) (うち査読あり 6件) 学会発表 (7件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] Three families of multiple blocking sets in Desarguesian projective planes of even order2013

    • 著者名/発表者名
      A. Betten, E.J. Cheon, S.J. Kim, T. Maruta
    • 雑誌名

      Designs, Codes and Cryptography

      巻: 68 ページ: 49-59

    • DOI

      10.1007/s10623-012-9634-1

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the minimum length of ternary linear codes2013

    • 著者名/発表者名
      T. Maruta, Y. Oya
    • 雑誌名

      Designs, Codes and Cryptography

      巻: 68 ページ: 407-425

    • DOI

      10.1007/s10623-011-9593-y

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Construction of optimal linear codes by geometric puncturing2013

    • 著者名/発表者名
      T. Maruta
    • 雑誌名

      Serdica Journal of Computing

      巻: 7 ページ: 73--80

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Classification of the odd sets in PG(4,4) and its application to coding theory2013

    • 著者名/発表者名
      T. Tanaka, T. Maruta
    • 雑誌名

      Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing

      巻: 24 ページ: 179-196

    • DOI

      10.1007/s00200-013-0201-4

    • 査読あり
  • [雑誌論文] New extension theorems for codes over F_q2013

    • 著者名/発表者名
      T. Maruta, T. Tanaka, H. Kanda
    • 雑誌名

      Proceedings of International Workshop on Optimal Codes and Related Topics

      巻: 7 ページ: 152-157

    • 査読あり
  • [雑誌論文] New 5-dimensional linear codes over F_52013

    • 著者名/発表者名
      Y. Kageyama, T. Maruta
    • 雑誌名

      Proceedings of International Workshop on Optimal Codes and Related Topics

      巻: 7 ページ: 107-112

    • 査読あり
  • [学会発表] Extendability of quaternary linear codes2013

    • 著者名/発表者名
      苅田仁, 田中太一郎, 丸田辰哉
    • 学会等名
      2013年度応用数学合同研究集会
    • 発表場所
      龍谷大学(滋賀県)
    • 年月日
      20131221-20131221
  • [学会発表] On the minimum length of linear codes over $\mathbb{F}_5$2013

    • 著者名/発表者名
      陰山佑樹, 丸田辰哉
    • 学会等名
      2013年度応用数学合同研究集会
    • 発表場所
      龍谷大学(滋賀県)
    • 年月日
      20131221-20131221
  • [学会発表] Extension problem for linear codes2013

    • 著者名/発表者名
      T. Maruta
    • 学会等名
      37ACCMCC
    • 発表場所
      University of Western Australia(オーストラリア)
    • 年月日
      20131209-20131209
  • [学会発表] New 5-dimensional linear codes over F_52013

    • 著者名/発表者名
      Y. Kageyama, T. Maruta
    • 学会等名
      7th International Workshop on Optimal Codes and Related Topics
    • 発表場所
      Albena (ブルガリア)
    • 年月日
      20130910-20130910
  • [学会発表] New extension theorems for codes over F_q2013

    • 著者名/発表者名
      T. Maruta, T. Tanaka, H. Kanda
    • 学会等名
      7th International Workshop on Optimal Codes and Related Topics
    • 発表場所
      Albena (ブルガリア)
    • 年月日
      20130907-20130907
  • [学会発表] FH-free odd sets in PG(r, 4) and an application to coding theory2013

    • 著者名/発表者名
      田中太一郎, 丸田辰哉
    • 学会等名
      離散数学とその応用研究集会2013
    • 発表場所
      山形市保健センター(山形県)
    • 年月日
      20130809-20130809
  • [学会発表] On the construction of new linear codes over F_52013

    • 著者名/発表者名
      陰山佑樹, 丸田辰哉
    • 学会等名
      離散数学とその応用研究集会2013
    • 発表場所
      山形市保健センター(山形県)
    • 年月日
      20130809-20130809
  • [備考] Griesmer Bound for Linear Codes over Finite Fields

    • URL

      http://www.mi.s.osakafu-u.ac.jp/~maruta/griesmer.htm

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公開日: 2015-05-28  

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