• 研究課題をさがす
  • 研究者をさがす
  • KAKENの使い方
  1. 課題ページに戻る

2013 年度 実施状況報告書

楕円型偏微分方程式に対するポテンシャル論的研究

研究課題

研究課題/領域番号 24540174
研究機関広島大学

研究代表者

下村 哲  広島大学, 教育学研究科(研究院), 教授 (50294476)

研究分担者 水田 義弘  広島工業大学, 工学部, 教授 (00093815)
キーワードソボレフ関数 / 楕円型偏微分方程式
研究概要

楕円型偏微分方程式の解について、存在と一意性、正則性などの解析的な性質を研究する方法はいくつかあるが、ペロンの方法に代表されるポテンシャル論的方法はその有力なものの一つである。特にソボレフ空間とそれに付随する容量の概念は、方程式の弱解の正則性を調べ、それが強解であるかどうかを判定するのに欠かせない道具である。本研究では、実解析学だけでなく、偏微分方程式論、多様体上の微分幾何学やグラフ上の解析学、電気流動学や弾性学などへの幅広い応用を念頭に、ソボレフ関数を利用して、楕円型偏微分方程式の解がもつ解析的な性質をポテンシャル論的方法により研究することを目的とする。本年度は次のような研究を行った。
変動指数をもつMusielak-Orlicz-Morrey空間などの関数空間において、ソボレフの不等式がどのような形で成立するかについて論じた。変動指数をもつMusielak-Orlic-Morreyz空間において、極大作用素の有界性に関する結果を得た。応用として、変動指数をもつMusielak-Orlicz-Morrey空間に属する関数のリースポテンシャルに対するソボレフの不等式を得た。さらに、Trudingerの指数積分不等式に関する結果を得た。
また、変動指数をもつMusielak-Orlicz-Morrey空間や変動指数をもつMusielak-Orlicz空間に属する関数のリースポテンシャルに対する連続性に関する結果を得た。距離空間上でのソボレフ型定理に関する成果も得た。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

変動指数をもつMusielak-Orlicz-Morrey空間などの関数空間において、極大作用素の有界性に関する結果や、その応用として、変動指数をもつMusielak-Orlicz-Morrey空間に属する関数のリースポテンシャルに対するソボレフの不等式及びTrudingerの指数積分不等式に関する結果を得たり、距離空間上でのソボレフ型定理に関する成果も得たりするなど、変動指数をもつ関数空間上におけるソボレフ型定理を発展させることができた。このように、本年度予定していた以上の成果を得ることができたから。

今後の研究の推進方策

平成25年度は、予定していた以上の成果を得ることができ、研究は順調に進展している。今後は、平成25年度の研究をさらに発展させるために、平成25年度に得た結果の証明のアイディアをもとに、距離空間上の変動指数をもつMusielak-Orlicz-Morrey空間やMusielak-Orlicz空間に関するソボレフ型定理などの研究に取り組み、変動指数をもつ関数空間上におけるソボレフ型定理を発展させる予定である。

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2013 その他

すべて 雑誌論文 (6件) (うち査読あり 6件) 学会発表 (1件)

  • [雑誌論文] Boundedness of maximal operators and Sobolev's inequality on Musielak-Orlicz-Morrey spaces2013

    • 著者名/発表者名
      F. - Y. Maeda, Y. Mizuta, T. Ohno, T. Shimomura
    • 雑誌名

      Bull. Sci. Math.

      巻: 137 ページ: 76-96

    • DOI

      doi.org/10.1016/j.bulsci.2012.03.008

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Trudinger's inequality and continuity of potentials on Musielak-Orlicz-Morrey spaces2013

    • 著者名/発表者名
      F. - Y. Maeda, Y. Mizuta, T. Ohno, T. Shimomura
    • 雑誌名

      Potential Anal.

      巻: 38 ページ: 515-535

    • DOI

      doi 10.1007/s11118-012-9284-y.

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Sobolev embeddings for Riesz potentials of functions in non-doubling Morrey spaces of variable exponents2013

    • 著者名/発表者名
      Y. Sawano, T. Shimomura
    • 雑誌名

      Collect. Math.

      巻: 64 ページ: 313-350

    • DOI

      DOI: 10.1007/s13348-013-0082-7

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Approximate identities and Young type inequalities in Musielak-Orlicz spaces2013

    • 著者名/発表者名
      F. - Y. Maeda, Y. Mizuta, T. Ohno, T. Shimomura
    • 雑誌名

      Czechoslovak Math. J.

      巻: 63 ページ: 933-948

    • DOI

      DOI: 10.1007/s10587-013-0063-8

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Sobolev's inequality for Riesz potentials of functions in generalized Morrey spaces with variable exponent attaining the value 1 over non-doubling measure spaces2013

    • 著者名/発表者名
      Y. Sawano, T. Shimomura
    • 雑誌名

      Journal of Inequalities and Applications

      巻: 2013 ページ: 2013:12

    • DOI

      doi:10.1186/1029-242X-2013-12

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Littlewood-Paley theory for variable exponent Lebesgue spaces and Gagliardo-Nirenberg inequality for Riesz potentials2013

    • 著者名/発表者名
      Y. Mizuta, E. Nakai, Y. Sawano, T. Shimomura
    • 雑誌名

      J. Math. Soc. Japan

      巻: 65 ページ: 633-670

    • DOI

      doi:10.2969/jmsj/06520633

    • 査読あり
  • [学会発表] Weighted Morrey spaces of variable exponent and Riesz potentials

    • 著者名/発表者名
      下村 哲
    • 学会等名
      ポテンシャル論研究集会
    • 発表場所
      北海道大学

URL: 

公開日: 2015-05-28  

サービス概要 検索マニュアル よくある質問 お知らせ 利用規程 科研費による研究の帰属

Powered by NII kakenhi