| 研究課題/領域番号 |
24540179
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 佐賀大学 |
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研究代表者 |
梶木屋 龍治 佐賀大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (10183261)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | least energy solution / elliptic equation |
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| 研究概要 |
一般化された Henon 方程式を対称領域において考察した. 従来の結果では, 係数関数がべき乗で領域が球の場合に, 最小エネルギー解が球対称性を持たないことが証明されている. しかし, 本研究においては, 一般の係数関数についても同様のことを証明した. 係数関数がベキ関数で無くても, その密度が球面の近傍に集中しているときには, 最小エネルギー解は, 球対称性を崩すことを証明した. さらにまた, 常微分方程式の２点境界値問題においても, 最小エネルギー解が偶関数でないことを証明した. 一般の点対称領域において最小エネルギー解が点対称性を崩すことを証明した. 直方体領域において直方体の対称面を考える. このとき, いくつかの指定した面に関する折り返し対称の群作用を考えて, その群作用の下で不変性を持つ関数空間を用意する. この関数空間における最小エネルギー解が, 指定された面対称以上の強い対称性を持たないことを証明した. 従って, 指定された群作用の下での最小エネルギー解は, ちょうどその群作用の対称性のみを持つ.
１次元 p-ラプラス型の Emden-Fowler 方程式の２点境界値問題を考える. このとき, 係数関数が偶関数であっても, その密度が境界近傍に集中しているときに, 最小エネルギー解が偶関数にならないことを証明した.
峠の定理は, 変分法において正値解を見つけ出す有効な手法である. この定理を順序バナッハ空間において, 新たに証明した. その結果, 半線形楕円型偏微分方程式の正値解の存在を従来よりも弱い仮定の下に, 極めて容易に証明することができるようになった.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
2012年度は査読付きの論文を５本書いている.
また日本数学会で７回の講演, さらにセミナーや数理解析研究所での研究集会を４回行っている. そのため研究成果は非常に大きいと思われる.
しかし, 当初の目的の一つである資料収集と分析は, ある程度のデータを集めているがそれほど多くはない. このため, おおむね順調な研究の達成度であると考える.
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| 今後の研究の推進方策 |
研究目的に述べた問題を解決するには, 非常に多くの数学的理論が必要となる. 変分法(リュステルニク・シュニーレルマン理論), 最大値原理と比較定理, 関数解析, 楕円型偏微分方程式論, 発展方程式論, 写像度, 大域分岐理論, 常微分方程式に対するスツルムの比較定理とその p ラプラシアンへの拡張, nodal solution の性質, 楕円型及び放物型方程式の解の先験的評価, リアプノフ関数による定常解の安定性理論, 等である. このため, これらの研究についての専門書, 数学雑誌, 電子ジャーナル, 論文, プレプリント, 電子ファイル 等をなるべく多く集める. 次にこれらの資料を関連する分野ごとに分類し, 整理する. 各資料を時間をかけてゆっくり精読する.
その数学的内容を十分に把握し理解する. 必要ならば関連する引用文献をさらに収集する. さらに, 国内外の研究者と連絡を取り合って, 本研究に関連した詳しい情報と資料を入手する. このようにして, 既知の結果を十分理解し, これらをパソコンの中にデジタル化した資料として納め, 常時参照できるようにする.
これらのデータを活用して, 今後は, さらに一般の p-ラプラス方程式の最小エネルギー解の対称性の崩れを証明する.
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| 次年度の研究費の使用計画 |
本研究を推進するために専門書, 数学雑誌, 電子ジャーナル, 論文, プレプリント, 電子ファイル 等が必要である. 本研究費を利用してこれらの書籍などを購入する.
さらにデジタルデータの保存・管理のために, パソコン, ハードディスク, CD-R, DVD-R 等のメディア及びUSBフラッシュメモリを利用する. これらの電子機器及びメディアの購入費にもこの研究費が利用される. また国際学会, 研究集会, セミナー, シンポジウム等に出席して多くの資料, 情報を入手するために出張旅費を有効に活用する. またこの出張のときに, 多くの数学者と情報交換を行い, 新しい資料を入手する. さらに研究成果を発表して, 批評を受け, 今後の研究の指針とする. また, 共同研究者と研究打ち合わせを行う. このために出張旅費が有効に使用される.
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