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４階非線形放物型偏微分方程式として表される表面拡散方程式に関して、定常曲面の安定性の研究および分岐解析を行った。表面拡散方程式は、この方程式によって運動が支配される動曲面に対して、曲面に囲まれた体積を一定に保ちながら曲面の表面積を減少させるという勾配流の構造をもち、勾配流の構造を保つ境界条件を課した場合、定常曲面は平均曲率一定曲面となる。本研究課題では、定常曲面として軸対称な平均曲率一定曲面であるドロネー曲面の安定性について解析を行ってきた。ドロネー曲面は、平均曲率が0のカテノイド、平均曲率が0ではない円柱・アンデュロイド・(連鎖)球面・ノドイドに分類される。H27年度には、(連鎖)球面およびノドイドに対してある限定したパラメータに対して安定性の判定条件を得た。また、H26年度までに得た円柱とアンデュロイドに関する結果をもとに、これらの曲面が平行面に挟まれ、かつそれらの平行面に90度に交わる場合に関して、アンデュロイドの円柱からのピッチフォーク分岐を示した。H28年度では、H27年度までの結果を踏まえ、ドロネー曲面が平行面に挟まれているが、それらの平行面と90度以外の角度で交わる場合について、ドロネー曲面の安定性の判定と分岐図の導出を試みた。その結果、ドロネー曲面が平行面と90度より大きい角度で交わる場合に関して、その設定の下で定常曲面として得られるアンデュロイド・(連鎖)球面・ノドイドに関するそれぞれの安定性を判定し、Mapleを援用していくつかの角度条件の下で分岐図を導出した。これらの結果は、表面拡散方程式によって運動が支配される動曲面のダイナミクスの解析への寄与が期待される。
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