| 研究実績の概要 |
本年度は次のような非線型反応拡散方程式 (P) u_t=du_{xx}+ g(x)(1-u) を1次元区間(0,1)上，ノイマンゼロ境界条件で考えた．ここで d は微小係数，pは１以上の数，g(x) はなめらかな関数で場所により正と負両方の符号をとり，u は２つの対立遺伝子のうち一方の遺伝子頻度をあらわす．自明な定数解以外に非定数定常解を見つけることを目的とする．以下のような結果が得られた．
結果１(遷移層の位置)．(P)の非定数定常解は S={ x∈(0,1) │ g(x)=0 } の近傍のみで遷移層をもち，他の場所では０か１に近い値をとる．
結果２（安定性）遷移層をもつ定常解はすべて線型安定である
これら２つの予想に錐上の写像度の理論を適用すると次の予想が得られる．Gをg(x)の(0,1)区間上積分とする．結果２の証明では非定数定常解における線形化固有値問題を考え，その最小固有値が正であることを漸近解析的方法を用いて証明した．
結果３（一意性）Gが非負ならば結果の非定数定常解が一意である．一方 Gが負ならば結果１の非定数定常解が１つと，そのほかに０の近傍に非定数定常解が少なくとももう１つ存在する．
これらの結果は The Uniqueness of Indefinite Nonlinear Diffusion Problem in Population Genetics (投稿中)に発表した．
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