| 研究課題/領域番号 |
24540211
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
角 大輝 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (40313324)
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| 研究分担者 |
佐藤 譲 北海道大学, 電子科学研究所, 准教授 (30342794)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | 複素力学系 / ランダム複素力学系 / フラクタル / 有理半群 / 多項式半群 / ジュリア集合 / エルゴード理論 / 協調原理 |
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| 研究実績の概要 |
複素多様体上の正則写像のなす半群（以下正則写像半群）の力学系と、正則写像の族によるランダム力学系の両者の理論を、互いに交錯させながら基礎から構築し、数学のみならず非線形物理学や数理生物学などの他分野へまでも思想的・哲学的に訴えかけ、新しい世界観を提供している。ランダム複素力学系においては、多項式全体の空間における確率測度を考え、毎回その確率測度に従って多項式写像を選択する独立同分布ランダム力学系を考える。私は「2次以上の多項式の空間の確率測度で台がコンパクトなものの空間を考えると、その空間のある位相で開かつ稠密な部分集合において、その集合に属する任意の確率測度について、核ジュリア集合が空となり、平均化システムのカオス性は（連続関数の空間への作用の観点では）消滅し、かつ摂動に関し安定である」ことを示し、論文にまとめて出版した。これは通常の複素力学系では起こりえない、ランダム複素力学系特有の新現象であり「協調原理」と呼んでいる。なお、連続関数の空間への作用のカオスが消滅しても、ある指数以上のヘルダー連続関数の空間への作用に依然としてカオス性が残りうることも発見し、それを「カオスと秩序の間のグラデーション」とよび、研究を行っている。特に、極限状態関数である「悪魔の階段の複素平面上版」やその確率パラメータによる偏微分である「高木関数の複素平面上版」の各点ヘルダー指数についてそのマルチフラクタル解析などを行っており、研究が発展中である。このほか拡大的有限生成有理半群で開集合条件を満たすと限らないもののジュリア集合のハウスドルフ次元の研究などを行った。また、無限生成拡大的有理半群で開集合条件を満たすもののジュリア集合のハウスドルフ次元を研究し、それを拡大的と限らない有理半群のジュリア集合のハウスドルフ次元の研究に応用した。
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