| 研究概要 |
本研究の目的は2つある：（１）多様体間の写像の conformality を測るテンソル量のノルムの積分を最小にすることにより、conformal maps に "最も近い" 写像を見つける. もっと一般に, この変分問題の停留写像 (C-stationary maps と呼ぶ) の性質を調べる. （２）上記の積分量の一部として, metrics の pullbacks のノルムの積分が現れるが, そのノルムの積分の停留写像 (symphonic maps と呼ぶ) の性質を調べる. ちなみに, metrics の pullback のトレースの積分の停留写像が harmonic maps である.
今年度は, 本研究課題の初年度として, symphonic maps に関して, 以下の2つの事柄について研究を行った：（１）symphonic maps の正則性について調べた. 4次元ユークリッド空間の部分領域から, n次元球面への symphonic maps のへルダー連続性の結果が得られた. （２）n次元球面の部分多様体を定義域あるいは値域とする安定な symphonic maps の性質についての研究を行っている. 現在進行中である.
また, 本研究と関連して, biharmonic maps について研究を行っている. biharmonic maps についての Chen 予想の部分的解決の結果が得られている. さらに, 最近, Marques, F.C. と Neves, A. により, Willmore 予想が解決されたが, 技術的観点から本研究との関係があるので, 今年度末 (2013年2月) に Willmore 曲面の研究会を山口で開いた.
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| 次年度の研究費の使用計画 |
本研究は, 他大学の研究者との共同研究として進めている部分も多い. したがって, 研究費の多くは, 研究打ち合わせのための旅費と, 研究に必要な図書の購入に使用する. また, 次年度末には今年度末に引き続き, Willmore 曲面の研究会を開く予定であるので, 研究会開催のための費用を計上する.
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