| 研究概要 |
研究代表者が構成した一般超幾何を周期積分に持つ数論的Calabi-Yau族の幾何的および数論幾何的な性質に関して成果を得た。特に、3次元の場合に特異ファイバーの既約因子の保型性を証明した。
研究代表者が構成した指数が1/2, ・・・, 1/2と1,・・・,1の一般超幾何関数を周期積分に持つ2を可逆にした整数環上の射影直線(λ直線と呼ぶ)上λ=0, 1, ∞以外の外で射影的かつ滑らかなCalabi-Yau族になる。当該年度の研究では、奇数次元n≧3におけるλ=1なるファイバーについて考察して、(i)λ=1における半安定族の構成、特に既約因子が2つで一方が有理的、他方Yが数論幾何的に面白い数論的多様体になること、(ii)Yの有理係数コホモロジーの決定、(iii)Yのホッジ数の決定、(iv)n=3のときはYは剛性Calabi-Yau多様体になり、中間次元のコホモロジーは重さ4のレベルが8のモジュラー形式からくることを証明した。(i)の判安定族の構成は、有理多様体族上の2重被覆であることと有理多様体上のブローアップを利用する。有理コホモロジーの決定においては、2重被覆になっていること、重み-モノドロミースペクトル系列の考察による。nが3の場合だけYに付随する複素多様体はCalabi-Yau多様体になり、Hodge数の考察から剛性となる。普遍楕円曲線族の直積からの写像を具体的に構成し、Yの保型性が幾何的に得られる。この結果は、3次元剛性Calabi-Yau多様体の保型性予想の具体的な一例になっている。また、保型性に関しては、連携研究者が数論的な証明を与えている。以上の結果は、東北大学で開催された数論幾何の研究集会「Arithmetic, differentials, and geometry」、IHESおよびパリ北大学において講演した。
|
