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2012 年度 実施状況報告書

無限単純群の群作用

研究課題

研究課題/領域番号 24654011
研究種目

挑戦的萌芽研究

研究機関東京大学

研究代表者

坪井 俊  東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (40114566)

研究期間 (年度) 2012-04-01 – 2015-03-31
キーワード幾何学 / 代数学 / トポロジー / 微分同相群 / 幾何学的群論 / 無限単純群
研究概要

単純群の元 g と g の逆元の共役類の和集合 C_g に対して, C_{g_1}が (C_{g_2})のk冪 となる k の最小値として定義される整数値関数 k(C_{g_2}\to C_{g_1}) , および d(C_{g_1},C_{g_2})=\log \max \{k(C_{g_2}\to C_{g_1}),k(C_{g_1}\to C_{g_2})\} により定義される距離 d(C_{g_1},C_{g_2}) について、群の作用との関係を研究した。
群から実数への擬準同型, 群の有界コホモロジー, 群の上の(共役不変)擬ノルム, 群の元の交換子長, 安定交換子長などと群作用の力学系的性質の関連についての情報を整理し、Calegari, 藤原, Kotschickの擬準同型, 安定交換子長の研究, Burago-Ivanov-Polterovichの擬ノルム, 交換子長の研究との関連を研究した結果、相対的な擬ノルムが、我々の研究に有効であることを理解した。
群の作用の研究のために、基本領域の形に興味を持ち、基本領域の模型を3Dプリンタで作成した。
任意の次元の球面の向きを保つ同相群、任意の次元のメンガーコンパクト空間の同相群に対し、任意の元はただ1つの交換子に書かれることの証明を論文にまとめ、出版した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

当初の予定通り、群から実数への擬準同型, 群の有界コホモロジー, 群の上の(共役不変)擬ノルム, 群の元の交換子長, 安定交換子長などと群作用の力学系的性質の関連についての情報を整理し、Calegari, 藤原, Kotschickの擬準同型, 安定交換子長の研究, Burago-Ivanov-Polterovichの擬ノルム, 交換子長の研究との関連を研究した結果、相対的な擬ノルムが、我々の研究に有効であることが見いだせた。また、基本領域の模型により群作用への理解が深まった。出版予定の論文をまとめ出版できた。

今後の研究の推進方策

有用性が判明した相対的な擬ノルムについて研究を深める。研究計画時の予定に沿って、A_\infty以外の単純群の例について、その形状を調べる。また、交換子幅について、様々な空間の同相群をしらべるとともに、体積を保つ微分同相群についても研究対象とする。

次年度の研究費の使用計画

主に研究交流のための旅費として使用する。若手研究者との共同研究のための費用としても使用する。

  • 研究成果

    (3件)

すべて 2013 その他

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (2件) (うち招待講演 2件)

  • [雑誌論文] Homeomorphism groups of commutator width one2013

    • 著者名/発表者名
      Takashi Tsuboi
    • 雑誌名

      Proceedings Amer. Math. Soc.

      巻: 141 ページ: 1839-1847

    • DOI

      10.1090/S0002-9939-2012-11595-3

    • 査読あり
  • [学会発表] Homeomorphism groups of commutator width one

    • 著者名/発表者名
      Takashi Tsuboi
    • 学会等名
      Geometry in Dynamics - Satellite Thematic Session, 6th European Congress of Mathematics
    • 発表場所
      ポーランド、クラクフ市
    • 招待講演
  • [学会発表] Homeomorphism groups of commutator width one

    • 著者名/発表者名
      Takashi Tsuboi
    • 学会等名
      CalTech Seminar
    • 発表場所
      CalTech
    • 招待講演

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公開日: 2014-07-24  

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