| 研究課題/領域番号 |
24654044
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| 研究種目 |
挑戦的萌芽研究
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| 研究機関 | 龍谷大学 |
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研究代表者 |
森田 善久 龍谷大学, 理工学部, 教授 (10192783)
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| 研究分担者 |
鈴木 香奈子 茨城大学, 理学部, 准教授 (10451519)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | 応用解析 / 反応拡散方程式系 / 無限次元力学系 / 散逸力学系 / 大域アトラクタ |
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| 研究概要 |
課題の研究のために，まず具体的な反応拡散系を取り上げ，その大域アトラクタの構造を調べることにした．スカラー方程式の場合には，詳細な構造がわかっているものがあるが，システムになると，大域的に安定な唯一の定常解からなるような自明な構造をもつアトラクタ以外については，数学的に詳細な研究成果がない．そこで，保存則のある反応拡散系と，数理生物に表れる比較的よく研究されている反応拡散系に絞り，その大域的アトラクタの構造を解析するところから取り組んだ．以下は得られた結果である．
１）保存則のある系の中でも，あるタイプの方程式系に着目すると，システムの定常解の構造が非局所項をもつスカラー方程式に帰着され，それぞれの方程式におけるモース指数まで一致するということが判明した．
２）1被食者－N捕食者系のロトカ・ボルテラ方程式に，拡散を加えた反応拡散系においてはリャプノフ関数の存在がいえ，大域アトラクタの構造が完全に決定できる．
これらの結果は，今後課題を推進していく際におおきな足がかりとなる研究成果である．現在これらの成果を論文としてまとめているところである．
一方，無限次元不変多様体の近傍での解軌道を解析する研究にも取り組んでおり，具体的な問題に応用できるような手法を研究している．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
１）保存量をもつ反応拡散系についての研究から，大域的アトラクタを決定する際に指標となるモース指数についての成果が得られた．これは重要な成果で，今後の研究の進展が期待できる．
２）Gierer-Meinhardt系については，分担者の鈴木とさらに検討していくが，別の数理モデルで大域的な解構造を解明する研究が進んだ．これによってアトラクタの崩壊を力学系的な観点から理論的に明らかにしていくためのシナリオが，より明確に描けるようになってきている．
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| 今後の研究の推進方策 |
2013年の4月に，オランダのライデン大学にあるローレンツセンターの生物数学の国際的研究集会に参加し，無限次元力学系の生物モデルへの応用理論と，その基盤となる数学的理論の最新成果を，研究に取り入れる．実際，生物系のロトカ・ボルテラ拡散方程式系の大域アトラクタと，その解軌道の詳細な研究は，今後研究の重要な位置を占めてくるので，この研究集会で得られる情報は貴重なものとなるであろう．
また，反応拡散系や無限次元力学系の研究に関連した国内外の集会に出席し，最先端の研究手法を取り入れていくことを計画している．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
主な研究費は，共同研究者との研究打ち合わせや，国内外の研究集会・セミナーへの参加・発表のための旅費で占められる．それ以外には，力学系や非線形偏微分方程式に関する研究分野の専門書を購入する．
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