| 研究概要 |
離散群・特異点・ルート系・リー環・有限次元代数の間にある不思議な関係を解明するため,本年度は以下の内容について研究を行った.
(1)古典的ミラー対称性:オービフォールド射影直線に対するグロモフ-ウィッテン不変量から得られる平坦構造とカスプ特異点に対する原始形式から得られる平坦構造の間に同型写像を与える.
これに関して,ある幾何学的に自然な条件をみたすフロベニウス構造の一意性を証明し,論文として発表した.また,アフィンカスプ多項式に対する原始形式の存在を示し,それから得られるフロベニウス構造が先の条件をみたすことを証明し,論文として発表した.
(2)ホモロジー的ミラー対称性:群作用付きカスプ特異点のミルナーファイバーに,組み合わせ論的もしくは代数的に,消滅ラグランジアン輪体を構成することを目標として研究を行う.
これに関して,群作用付きカスプ特異点から定まるガブリエロフ数の幾何学的定義を発見した.現在,論文としての取りまとめを行っている.また,群作用付き重み付き斉次多項式に対して指数と呼ばれる不変量を定め,'さらにその変分がミルナー数とオービフォールドオイラー標数を用いて記述できることを示し,論文として発表した.
(3)カスプ特異点に付随するワイル群不変式論の構築および平坦構造の構成:カスプ型ワイル群の指数的不変式に対するシュバレー型定理を証明し,最高次のワイル群不変式の良い選択により交叉形式が1次式となることを示す.これに関して,カッツ-ムーディー代数の最高重み表現の指標を用いて,拡大カスプワイル群に対する不変式論を系統的に記述することにより,フロベニウス構造の自然な構成のための準備を整えた.
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