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2012 年度 実施状況報告書

積分と最適化を伴う統計的推測

研究課題

研究課題/領域番号 24700281
研究機関慶應義塾大学

研究代表者

清 智也  慶應義塾大学, 理工学部, 講師 (20401242)

研究期間 (年度) 2012-04-01 – 2014-03-31
キーワード統計数学 / 最適化
研究概要

方向統計学で用いられているBingham分布族に対し,その正規化定数が満たす偏微分方程式を導き,ホロノミック勾配法が適用できることを示した.この研究はケント大学のA. Kume氏との共同研究である.
ホロノミック勾配法とは,Nakayama et al. (2011) 他により提案された,ホロノミック関数に対する勾配法の総称である.ホロノミック関数とは,それが満たす線形偏微分方程式系の解空間が有限次元であるような関数のことであり,独立変数が任意の曲線上を動くとき関数値が線形常微分方程式に従う,という特徴を持つ.ホロノミック勾配法が有用な場合として,多重積分を含む関数がある.Bingham分布族の正規化定数もそのような関数の一つである.
Bingham分布族は,球面あるいは射影空間上の確率分布の中でも基本的な分布の1つであり,方向を表すデータの解析に用いられるほか,shape analysisにおいても有用であることが知られている.Bingham分布族の正規化定数と最尤法の計算については,Kume and Wood (2005) による鞍点近似法がある.本研究では,彼らの手法との数値的な比較を行うとともに,ベキ級数による精度が保証された数値との比較も行った.結果として,データの属す空間が10次元程度までならば,十分実用的な計算時間で精度のよい数値が得られることが分かった.
本研究の特色として,偏微分方程式が退化する場合まで考慮したことが挙げられる.これにより,データがたまたま退化したものであっても,適切に場合分けしてホロノミック勾配法を適用することにより,正しい最尤推定値が得られることを示した.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

「研究の目的」において,「積分を含む目的関数の最適化問題のうち,現実的な時間で解けるような問題のクラスを広げる」という目標を立てた.これに対し,Bingham分布族の最尤法の計算がホロノミック勾配法で解けることを示した.この意味で,研究は順調に進展していると言える.

今後の研究の推進方策

平成24年度の研究結果に引き続き,ホロノミック勾配法の適用範囲を広げていく.方向統計学や多変量解析においては積分を含んだ関数が多く現れるため,これらを一つ一つ調べていき,ホロノミック性の観点から分類していく.また,ベイズ周辺尤度の計算についても,同手法が適用可能かどうか検討する.
特に,Bingham分布族の最尤推定の場合には退化したケースについてもホロノミック勾配法が適用されることが示されたが,最尤推定以外の推定量については何らかの処理が必要となるので,この点を明らかにしたい.また,既に結果が知られているFisher-Bingham分布族の場合については,現状では最尤推定についても退化したケースを扱うことができないので,この点を共同研究者とともに解決したい.

次年度の研究費の使用計画

共同研究者との効率的な議論を行うために,海外出張を含む旅費を使用する.また,研究成果の発表および意見交換を行うために研究集会へ参加する.本研究では,高次元のデータに関する数値計算を行う必要があるため,相応の計算機およびソフトウェアを導入する.また発表論文の質を良くするために英文校正を利用する他,プログラミングの補助に対する人件費が必要となる.

  • 研究成果

    (4件)

すべて 2012

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (3件)

  • [雑誌論文] Properties and applications of Fisher distribution on the rotation group2012

    • 著者名/発表者名
      Sei, T., Shibata, H., Takemura, A., Ohara, K. and Takayama, N.
    • 雑誌名

      Journal of Multivariate Analysis

      巻: 116 ページ: 440-455

    • DOI

      doi:10.1016/j.jmva.2013.01.010

    • 査読あり
  • [学会発表] ホロノミック勾配法の今後2012

    • 著者名/発表者名
      清智也
    • 学会等名
      研究集会「数理統計学の沃野」
    • 発表場所
      慶應義塾大学
    • 年月日
      20121123-20121123
  • [学会発表] Construction of directional distributions using gradient maps2012

    • 著者名/発表者名
      Sei, T.
    • 学会等名
      The 2nd Institute of Mathematical Statistics Asia Pacific Rim Meeting (IMS-APRM)
    • 発表場所
      つくば
    • 年月日
      20120704-20120704
  • [学会発表] 構造的勾配モデルの統計的曲率2012

    • 著者名/発表者名
      清 智也
    • 学会等名
      統計関連学会連合大会
    • 発表場所
      北海道大学
    • 年月日
      2012-09-10

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公開日: 2014-07-24  

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