| 研究概要 |
G(r,1,n)型の複素鏡映群に付随する cyclotomic Hecke 代数の準遺伝被覆である cyclotomic q-Schur 代数のモジュラー表現論について研究した。
特に, cyclotomic q-Schur 代数を商代数とするような新たな代数 U を生成元と関係式を用いて定義し, それを用いて cyclotomic q-Schur 代数の表現論を理解することを考えた。代数 U に求める性質として, 三角分解を持っていること，ウェイト理論により表現論を展開できること，Hopf 代数の構造を持っていることなど, 量子群の拡張としての性質を持っていることを要請したい。これらのうち，Hopf 代数の構造を除く基本的な性質について得ることができたので，現在論文を準備中である。Hopf 代数の構造についても現在研究を継続中である。
また，今回定義した代数 U は，一般線形リー代数に付随する量子群，及び，その Levi 部分代数とも強く関係しており，その関係についても調べた。また，前述したように，Hopf 代数の構造についてはまだ分かっていないが, cyclotomic q-Schur 代数の表現の指標のレベルでは，そのような構造が上手くいっているであろう結果を得ることができた。さらに，ランク2 の場合の代数 U の表現についても調べた。これは，量子群の場合の sl_2-triple に対応するものであり，代数 U の場合は２種類のランク 2 の代数を考える必要がある。一つは sl_2 の量子群の拡張とみなせる。もう一方が，量子群と大きく異なる部分をコントロールするものになる。ランク２の表現論を整理できたことにより，cyclototomic q-Schur 代数の表現を代数 U を用いた, 新たな視点から調べる準備は整った言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
cyclotomic q-Schur 代数の表現論を代数 U を用いてさらに詳しく調べていく。
それと同時に，cyclotomic q-Schur 代数の表現論と関係している, アファインリー代数，有理 Cherednik 代数の表現論との関係についても調べていく。
また，G(r,p,n) 型の複素鏡映群に付随する cyclotomc Hecke 代数，およびその準遺伝被覆の表現論との関係も調べていく。
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